Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
AS = S (t + At) — S (t) = ~ r2q>At + о (At),
Рис. 30. Секториальная скорость
и, значит, секториальная скорость
п dS 1 1
вдвое меньше кинетического момента нашей точки массы 1 и, следовательно, постоянна.
Пример. Спутники связи «Молния» имеют сильно вытянутые орбиты. По закону Кеплера большую часть времени такой спутник проводит в дальней части орбиты, где величина ср мала.
§ 8. Исследование движения в центральном поле
Закон сохранения кинетического момента позволяет свести задачу о движении в центральном поле к задаче с одной степенью свободы. Благодаря этому движение в центральном поле можно исследовать полностью.
§ 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ B ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 35
А. Сведение к одномерной задаче. Рассмотрим движение точки (массы 1) в центральном поле на плоскости:
* = —fr« V = U(r).
Естественно перейти к полярным координатам г, ф.
По закону сохранения кинетического момента величина M = == ф (t) г2 (t) постоянна (не зависит от t).
Теорема. При движении материальной точки единичной массы в центральном поле ее расстояние от центра поля меняется так, как г в одномерной задаче с потенциальной энергией
V(t) = U(t) + -^-.
Доказательство. Дифференцируя доказанное в § 7 соотношение г = fer + гфеф, находим
г = (г — гф2) еТ + (2гф + гф) еф. Ввиду центральности поля
au ви
дг дг
Поэтому уравнение движения в полярных координатах принимает вид
г — гф2 =--, 2гф + Hp = 0.
Но по закону сохранения кинетического момента
M
где M — не зависящая от t постоянная, определяемая начальными условиями. Поэтому
¦ + г —-j— или г =--— , где V = U + -
1 — дг ,4 — ¦ — дг > ' — ^ 1 2г2
Величина V (г) называется эффективной потенциальной энергией.
Замечание. Полная энергия в полученной одномерной задаче
E1 ^Jt-+ V (т)
совпадает с полной энергией в исходной задаче
2
E = 4- +U (г),
36
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
ибо
2 ~ 2+2 ~ 2 + 2га
Б. Интегрирование уравнений движения. Полная энергия в полученной одномерной задаче сохраняется. Следовательно, зависимость г от t определяется квадратурой
г = Y2(E-V(r)), [dt={ г dr .
r v 4 " J J |/2(Я — F (г))
Поскольку ф = MIr3, то-4^- = •^/7""- и уравнение орбиты
в полярных координатах находится квадратурой:
М\гЧг
Y2(E-V(r))
В. Исследование орбит. Зафиксируем значение постоянной момента Af. Изменение г со временем легко исследовать, нарисовав график эффективной потенциальной энергии V (г) (рис. 31).
Пусть E — значение полной энергии. Вся орбита, соответствующая данным E и М, лежит в области V (г) <^ Е. На границе этой области V — Е, т. е. f = 0. При этом скорость движущейся точки, вообще говоря, не равна нулю, так как ф =/= 0 при M Ф 0. аая Неравенство*. V (г) ^ E задает на плоско-
рис. зі. график вффек- сти одну или несколько кольцевых областей:
тивной потенциальной
энергии 0 < rmin < г < гшах < оо.
Если О ¦< rmjn ¦< rma% ¦< оо, то движение ограничено и происходит внутри кольца между окружностями с радиусами rmin и гтах.
Вид орбиты показан на рис. 32. Угол ф меняется монотонно, а г колеблется между rmin и rma% периодически. Точки, где г = - rmin называются перицентрами, а где г = rmax — апоцентрами (если центр Земля — перигей и апогей, если Солнце — перигелий и афелий, если Луна — периселений и апоселений).
Каждый из лучей, ведущих иэ центра в апоцентр или в перицентр, является осью симметрии орбиты.
В общем случае орбита не замкнута: угол между последовательными перицентром и апоцентром дается интегралом
гтах
М/гЧг_
J !/¦2(E-V(F))
Угол между двумя последовательными перицентрами вдвое больше.
§ 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
37
Орбита замкнута, если угол Ф соизмерим с 2л, т. е. если Ф = 2я -^- , где тип целые.
Можно показать, что если угол Ф несоизмерим с 2л, то орбита заполняет кольцо всюду плотно (рис. 33).
Если Гщіп = rmax, т. е. E — значение V в точке минимума, то кольцо вырождается в окружность, которая и будет орбитой.
Рис. 32. Орбита точки в цент- Рис. 33. Всюду плотная в коль-
ральном поле це орбита
Задача. При каких а движение по круговой орбите в поле с потенциальной энергией U = T™, — 2 а ¦< оо, устойчиво по Ляпунову?
Ответ. Только при а = 2.
При несколько больших минимума V значениях E кольцо rmin <С г rmax будет очень узким, а орбита будет близка к окружности. В соответствующей одномерной задаче г будет совершать малые колебания вблизи точки минимума V.
Задача. Найти угол Ф для орбиты, близкой к круговой радиуса г.
Указание. См. пункт Г ниже.
Рассмотрим теперь случай rmax = оо. Если Hm U (г) =
г—и»
= lim V (г) = U00 ¦< оо, то возможен уход в бесконечность. Если
г—>оо
начальная энергия E больше U0=, то точка уходит на бесконечность с конечной скоростью г,» = }/~2 (E — Uo=). Заметим, что если U (г) стремится к своему пределу медленнее, чем г-2, то эффективный потенциал V на бесконечности будет притягивающим (здесь предполагается, что потенциал U на бесконечности притягивающий).
