Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
3?2
Рис. 17. Линии уровня потенциальной энергии сферического маятника
4
<
Рис. 18. Области U Е, Ui^E и U, =?Е
Задача. Найти проекции фазовых кривых на плоскость X1, х2 (т. е-нарисовать орбиты движения точки).
Д. Пример 2 («фигуры Лиссажу»). Рассмотрим еще один пример плос-кого движения («малые колебания с двумя степенями свободы»):
X1 — —X1, X2 — —{H2X2,
Потенциальная энергия
Из закона сохранения энергии следует, что если в начальный момент времени полная энергия
4" (*i + *l) + U (*ь = е*
то все движение будет происходить внутри эллипса U (X1, X2) ^ Е.
Кроме того, наша система состоит из двух не связанных одномерных систем. Поэтому закон сохранения энергии выполняется отдельно для каждой из них: сохраняются величины
*і=4-*ї+4-*ї« ^=4^+4-^2
(E = E1+ E2).
§ 5. СИСТЕМЫ C ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
29
Следовательно, изменение X1 ограничено полосой | X11 <J A1, A1 = = 2E1 (0), и х2 тоже колеблется в пределах полосы | х% | < A2. Пересечение этих двух полос определяет прямоугольник, в котором заключена орбита (рис. 18).
Задача. Доказать, что этот прямоугольник вписан в эллипс U ^ Е. Общее решение наших уравнений есть X1 = A1 sin (t + фі), х2 = = A2 sin (Ш + ф2): движущаяся точка независимо совершает колебание с час-лютой 1 и амплитудой A1 по горизонтали и колебание с частотой о) и амплитудой Л2 по вертикали.
Чтобы нарисовать орбиту на плоскости X1, х2, поступим следующим образом. Рассмотрим цилиндр с основанием 2A1 в ленту ширины 2A2. Нарисуем на ленте синусоиду с периодом 2¦KAxIa и амплитудой A2 и намотаем ленту на цилиндр (рис. 19). Ортогональная проекция намотанной на цилиндр
Рис. 22. Фигура Лиссажу с со=2 Рис. 23. Серия фигур Лиссажу с со=2
синусоиды на плоскость X1, х2 и даст искомую орбиту, называемую фигурой Лиссажу.
Фигуры Лиссажу удобно наблюдать на осциллографе, подавая два независимых гармонических колебания на горизонтальную и вертикальную раз-Вертки.
Вид фигуры Лиссажу очень сильно зависит от частоты о). Если ю = 1 (сферический маятник примера 1), то на цилиндре кривая — эллипс. Проекция этого эллипса на плоскость X1, х2 зависит от разности фаз ф2 — фі. При
зо
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
,Pi = % получается отрезок диагонали прямоугольника, при малых ф2 — — фі — сжатый к диагонали эллипс, вписанный в прямоугольник. При «P2 — фі = я/2 получается эллипс с главными осями X1, ха; при увеличении Фг — Фі от я/2 до я эллипс сжимается ко второй диагонали, при дальнейшем увеличении ф2 — фх весь процесс повторяется сначала (рис. 20).
Пусть теперь частоты равны лишь приближенно: «в a 1. Отрезок кривой, соответствующий 0 ^ t <^ 2я, очень похож на эллипс. Следующий виток тоже напоминает эллипс, но у него сдвиг фаз ф2 — ^1 на 2я («в — 1) больше, чем у исходного. Поэтому кривая Лиссажу сий! — деформирующийся эллипс, медленно проходящий все фазы от сжатия в одну диагональ до сжатия в другую (рис. 21).
Если одна из частот вдвое больше другой (со = 2), то при некотором сдвиге фаз фигура Лиссажу превращается в дважды пройденную кривую (рис. 22).
Задача. Доказать, что эта кривая — парабола.
Прп увеличении сдвига фаз ф2 — ^p1 последовательно получаем кривые рис. 23.
Вообще, если одна из частот в п раз больше другой (со = п), то среди соответствующих фигур Лиссажу есть график многочлена степени п (рис. 24); этот многочлен называется многочленом Чебышева.
Рис. 24. Многочлены Чебышева
Задача. Докавать, что если со = т/га, то фигура Лиссажу — замкнутая алгебраическая кривая, а если со иррационально, то фигура Лиссажу заполняет прямоугольник всюду плотно. Что заполняет соответствующая фазовая траектория?
§ 6. Потенциальное силовое поле
В этом параграфе исследуется связь работы и потенциальной энергии.
А. Работа силового поля на пути. Напомню определение работы силы F на пути S. Работа постоянной силы F (например, силы,
с которой мы тянем вверх груз) на пути S = M1M2 есть, по определению, скалярное произведение (рис. 25)
A = (F, S) = I F I I S l-cos ф.
Пусть дано векторное поле jPh кривая Zконечной длины. Приблизим кривую Z ломаной со звеньями ASt и обозначим через ¦F1 значение силы в какой-нибудь точке AS t; тогда работа поля F на пути I есть по определению (рис. 26)
А = lim ^(F1 ASj.
§ в. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ СИЛОВОЕ ПОЛЕ
31
В курсе анализа доказывается, что если поле непрерывно, а пуіь спрямляем, то предел существует. Он обозначается \j (F, dS).
Рис. 25. Работа постоян- Рис. 26. Работа силового
ной силы F на прямом поля F на пути I
пути S
Б. Условия потенциальности поля.
Теорема. Векторное поле F потенциально тогда и только тогда, когда его работа по любому пути M1M2 зависит только от концов пути и не зависит от формы пути.
Действительно, пусть работа поля F не зависит от пути. Тогда корректно определена функция точки М:
M
U(M) = — J (F, dS). м.
Легко проверить, что
дх '
т. е. поле потенциально, a U — его потенциальная энергия. Конечно, потенциальная энергия определяется только с точностью до аддитивной постоянной U (M0), которую можно выбрать произвольно. уо
