Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Обратно, пусть поле F потенциально и і сг U — потенциальная энергия. Тогда легко про- 1 » © вернется, что V T
м
{(F, dS) = -U (M)+ U (M0),
M0
Рис. 27. Непотен-
Т. Є. работа не ЗавИСИТ ОТ формы ПУТИ. циалыюе поле
Задача. Доказать, что векторное поле F1 = х2, F2 = —X1 не потенциально (рпс. 21).
Задача. Потенциально ли поле, заданное на плоскости с исключен-"Ои точкой, F1 = —;-5- , F2 — —;-г- ? Доказать, что поле потенциально-
» *i + *2 ХХ + 4
*°гда и только тогда, когда его работа по любому замкнутому контуру равна *Улю.
32
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИИ
В. Центральное поле.
Определение. Векторное поле на плоскости E2 называется центральным с центром в О, если оно инвариантно относительно группы движений *) плоскости, оставляющих точку О на месте.
Задача. Доказать, что все векторы центрального поля лежат на лучах, проходящих через О, а величина вектора поля в точке зависит только от расстояния точки до центра поля.
Полезно рассматривать также центральные поля, не определенные в точке О.
Пример. Ньютоновское поле F = — к yjrjr центрально, а
поля задач пункта Б — нет.
Теорема. Всякое центральное поле F потенциально, а его потенциальная энергия зависит только от расстояния до центра поля, U = U (г).
Доказательство. Согласно предыдущей задаче, F (г) = Ф (г) еТ, где г — радиус-вектор относительно О, г — его длина, ег — его орт. Тогда
Mj г (Mj)
j (F¦ dS) = j Ф(г)аг,
M1 t(M1)
а этот интеграл, очевидно, не зависит от пути.
Задача. Вычислить потенциальную энергию ньютоновского поля.
Замечание. Определения и теоремы этого параграфа непосредственно переносятся на евклидово пространство E71 любого числа измерений.
§ 7. Кинетический момент
В дальнейшем мы увидим, что инвариантность уравнений механической задачи относительно какой-либо группы преобразований всегда влечет за собой закон сохранения. Центральное поле инвариантно относительно группы вращений. Соответствующий первый интеграл носит название кинетического момента.
А. Определение. Движение материальной точки (массы 1) в центральном поле на плоскости определяется уравнением
г = Ф (г) ег,
где г — радиус-вектор с началом в центре поля О, г — его длина, еТ—его орт. Будем считать нашу плоскость вложенной в трехмерное ориентированное евклидово пространство.
Определение. Моментом количества движения (или кинетическим моментом) материальной точки единичной массы
*) В том числе и отражений.
S 7. КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ
33
Рис. 28.
Кинетический момент
относительно точки О называется векторное произведение
M = [г, г].
Вектор M перпендикулярен нашей плоскости и задается одним числом: M = Mn, где п = [ех, еа] — вектор нормали, ех и еа — ориентирующий плоскость репер (рис. 28).
Замечание. Вообще, моментом вектора», «приложенного в точке »•» относительно точки О называют [г, а], например, в школьном курсе статики рассматривался момент силы.
Б. Закон сохранения кинетического момента.
Лемма. Пусть а иЬ — два меняющихся со временем вектора в евклидовом ориентированном R3. Тогда
± [а, Ь] = [а, Ь] + [а, Ь].
Доказательство. Это следует из определения производной.
Теорема (закон сохранения кинетического момента). При движении в центральном поле кинетический момент M относительно центра поля О не меняется со временем.
Доказательство. По определению
M = [г, г].
По лемме
М = [г,г) + [г, г]. Из уравнения движения ввиду центральности поля видно, что векторы г и г коллинеарны. Итак, M = 0, ч. т. д.
В. Закон Кеплера. Впервые закон сохранения кинетического момента был найден Кеплером из наблюдений за движением Марса. Кеплер формулировал этот закон в несколько ином виде.
Введем на нашей плоскости полярные координаты г, <р с полюсом в центре поля О. Рассмотрим в точке г с координатами | г | = г; <р два орта: ег, направленный по радиусу-вектору, так что
r = rer,
Рис. 29. Разложение вектора г по базису ег, вф
И ес
ему перпендикулярный, направленный в сторону увеличе-
ния ф. Разложим вектор скорости г по базису ег, еф (рис. 29). Лемма. Справедливо соотношение
г = гег + гфеф.
34
ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Доказательство. Очевидно, векторы ег, еф вращаются с угловой скоростью ф, т. е.
Єг = фЄ(р,
ёф = — фег.
Дифференцируя равенство г = гег, получаем
г = reT + гёг = rer + гфеф, ч. т. д. Следовательно, кинетический момент есть M = [г, г] = [г, гег] + [г, гфеф] = гф \г, еф] = г2ф [ег, еф]. Таким образом, сохраняется величина
M = г2ф.
Эта величина имеет простой геометрический смысл. Кеплер назвал секториальной скоростью С скорость изменения площади S (t), заметенной радиусом-вектором (рис. 30):
r_ dS
Найденный Кеплером из наблюдений движения планет закон гласит:
В равные времена радиус-вектор заметает равные площади, так что секториаль-
dS
пая скорость постоянна: —^- = const.
Это — одна из формулировок закона сохранения кинетического момента. Ибо
