Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 10

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 195 >> Следующая


Пример. Фазовый поток, заданный уравнением х = —х, есть группа g' поворотов фазовой плоскости на угол t вокруг начала координат.

Рис. 15. Действие фазового потока на круг

Задача. Покажите, что система с потенциальной энергией U--Xі

никакого фазового потока не определяет.

Задача. Докажите, что если потенциальная энергия положительна, Ю фазовый поток существует.

Указание. Воспользуйтесь законом сохранения энергии для доказательства неограниченной продолжаемости решений.

Задача. Нарисовать образ круга х2 + (у — I)2 < 1/4 под действием преобразования g* фазового потока уравнения: а) «перевернутый маятник» * = х, Ь) «нелинейный маятник» х = —sin х.

Ответ — рис. 15.

*) Единственное исключение составляет случай, когда период не зависит от энергии.

26

ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

§ 5. Системы с двумя степенями свободы

Анализ общей потенциальной системы с двумя степенями свободы выходит за рамки возможностей современной науки. В этом параграфе рассматриваются простейшие примеры.

А. Определения. Под системой с двумя степенями свободы мы будем понимать систему, описываемую дифференциальным уравнением

x = f(x), ЗСЄІЇ2,

где / — векторное поле на плоскости.

Система называется потенциальной, если существует функция U: E2^-R такая, что/ = —dU/дк. Уравнение движения потенциальной системы имеет, таким образом, вид *)

du ...

Б. Закон сохранения энергии.

Теорема. Полная энергия потенциальной системы E = -у sc2 + U (ж), ж? = (зс, sc),

сохраняется.

Доказательство:

dE /¦¦.V1/ du . \ /.. , dU . \ п _ = (Ж, Ж) +(—,X)=(SC + — , ос) = О

в силу уравнения движения.

Следствие. Если в начальный момент суммарная энергия равна Е, то вся траектория лежит в области, где U (х) <1 Е, т. е. точка находится все время внутри потенциальной ямы U (X11 X2) < Е.

Замечание. В системе с одной степенью свободы можно всегда ввести потенциальную энергию

u(x) = - lf(i)di.

Для систем с двумя степенями свободы это не так.

З а д а ч а. Привести пример системы вида ab — f (х), а> i= E2, которая не является потенциальной.

В декартовых координатах на плоскости E2 dU еи

Xl — ~ дхі ' 'а-— — дх2

5. СИСТЕМЫ C ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 27

Рис. 16. Поверхность уровня

*) При обычных ограничениях.

В. Фазовое пространство. Уравнение движения (1) можно записать в виде системы:

#1 : Уі, X2 = #2»

wi ~" Ox1' w* — дх2 •

Фазовым пространством системы с двумя степенями свободы называется четырехмерное пространство с координатами X1, х2, й, Уг-

Система (2) определяет векторное поле фазовой скорости в четырехмерном пространстве, и тем самым *) фазовый поток нашей системы (однопараметрическую группу диффеоморфизмов четырехмерного фазового пространства). Фазовые кривые системы (2) являются подмножествами четырехмерного фазового пространства. Все фазовое пространство разбивается на фазовые кривые. Проекции фазовых кривых из четырехмерного пространства на плоскость X1, X2 дают траектории нашей движущейся точки на плоскости X1, х2. Эти траектории называют также орбитами. Орбиты могут иметь точки пересечения, тогда как фазовые кривые друг друга не пересекают. Уравнение закона сохранения энергии

E =~ + U(X) = V*1+/2 +U(X1, X2)

определяет трехмерную гиперповерхность в четырехмерном пространстве: E (X1, х2, U1, у2) = E0; эта поверхность Пе„ оста-

ЄТСЯ ИНВариаНТНОИ ОТНОСИТеЛЬНО фаЗОВОГО энергии и фазовые кривые

потока: ^'Пе0 = Пе0. Можно сказать, что

фазовый поток течет по поверхности уровня энергии. Векторное поле фазовой скорости касается в каждой точке поверхности Т1Е. Следовательно, вся она составлена из фазовых кривых (рис. 16).

Г. Пример і («малые колебания сферического маятника»). Пусть

4+4

U =-2-• Множества уровня потенциальной энергии на плоскости

хіі хъ будут концентрическими окружностями (рис. 17).

Уравнения движения х\ = —X1, х\ = —X2 эквивалентны системе

УI = xl, а/2 — -Х2-

Эта система распадается на две независимых; иначе говоря, каждая из Координат X1, х2 меняется со временем так же, как в системе с одной степенью свободы.

28

ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Решения имеют вид

X1 = c1 cos t + c2 sin і, ж2 = c8 cos f + c4 sin t, Уі " —C1 sin t + с2 cos t, y2 = —сз sin t + c4 cos *. Из закона сохранения энергии следует:

е=4" <»ї+$+4" (*;+4)=const'

т. е. поверхностью уровня ПЕ является сфера в четырехмерном пространстве-Задача. Доказать, что фазовые кривые являются большими кругами

этой сферы. (Большим кругом называется пересечение сферы и проходящей

через ее центр двумерной плоскости.)

Задача. Доказать, что множество фазовых кривых на поверхности 11Е

составляет двумерную сферу. Точнее, формула w = ¦ Xl "t" ¦ задает «отобра-

х2 -г 1У2

жение Хопфа» трехмерной сферы ПЕ на двумерную сферу (плоскость комплексного переменного w, пополненную бесконечно удаленной точкой). Наши фазовые кривые — это прообразы точек при отображении Хопфа.
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed