Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Видно, что сумма двух последних слагаемых левой части полученного уравнения есть величина постоянная
Причем из четырех постоянных Pr , P^ , ? и С независимы только три, так как все они связаны между собой соотношением: 1 г Jl
е~-?г(г7+ft)+?.
Из предыдущего уравнения (2) находим
flzhtjv^c+pz)' J*.
Функцию можно оставить в виде неопределенного
интеграла особенно в тех случаях, когда последний вычисляется сложно. Таким образом, имеем
9=-et+pfx+/>ay±jy2„(e+F3) 'dz,
Правильный знак перед радикалом легко установить, исследуя ІГ —ю проекцию импульса частицы
Fs=H^-V(С+Fz )' *
'JS
Чтобы вьшолнялось начальное условие, необходимо перед радикалом взять знак плюс, тогда
mtS ="\12гг>(С+Fz0) '>0.
В итоге полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби запишется как
$ = + +P2 y+fVz^ic+Fyf с/г.
$-501 і-5В качестве независимых произвольных постоянных интегрирования уравнения Гамильтона - Якоби возьмем р , р2 и С „ После этого дифференцируем S по произвольным постоянным, а результат дифференцирования приравниваем новым постоянным^, C2 и C^ ,а именно:
Э 3 _ rt & 3 _ rt Э5 ^
3P7 1 7 эРг ~ 2 ' 3 '
Раскрываем полученные соотношения: Последний интеграл легко вычисляется :
jr V2m(Ct Fz)' = Ci .
Постоянные интегрирования Cr , C2 и C^ находим из начальных
ҐТЬ z.
условий с учетом соотношения С - V^-Fzo , которое вытекает из выражения для if-й проекции импульса р — V2m(CfFgrJ1 взятой в начальный момент времени. В результате имеем
/у г* — гг7(гг
cI^xO') с2~~ Уо> з ~ ~F
После этого определяем зависимость координаты 2 от времени
V2m (С?+Fe J= Ft + mvl >
Окончательно получаем
JT-X^ Vf t, ISj7^zo+ J~
179. а) Выпишем уравнение Гамильтона - Якоби
^ШщНщЯПІШ^0-
Поскольку энергия S сохраняется, искомая величина S содержит слагаемое -St . Кроме того, гамильтониан Jt разбивается на сумму слагаемых, каждое из которых зависит только от одной обобщенной координаты и соответствующего обобщенного импульса. Это позволяет искать полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби в виде суммы;
Подставим искомое решение в уравнение Гамильтона ™ Якоби 130Левая часть равенства содержит три группы слагаемых, каждое из которых зависит лишь от одной обобщенной координаты соответственно ^f , ^ и ^ . Поскольку это равенство должно выполняться для произвольных значений Q , Cf2 и Cf , отсюда вытекает '
о . /Jc \2 о *
где ?^ , ёг И <§3 - произвольные постоянные, которые связаны с энергией соотношением:
&= S7I- ё3.
Интегрируя полученные дифференциальные уравнения, находим
Sg=± гJh^Jti,.
Чтобы установить правильный знак перед радикалам, воспользуемся равенствами:
^ ^L' ff "imW (1)
в начальный момент времени. Тогда придем к заключению, что перед радикалами следует взять знак плюс. Таким образом, действие принимает вид:
st* sjv%rfJdbf2jY^df/ гffaTT d%.
В качестве независимых постоянных интегрирования уравнения Гамильтона - Якоби возьмем S1 , &2 и 4? * ^родиф-ференцируем действие S по произвольным постоянным <f , S2 и S^ , а результат дифференцирования приравняем новым постоянным соответственно C7 , C2 и C3 , а именно:
Выпишем эти соотношения в явном виде:
При взятии интегралов иногда полезно использовать чис— леннье значения постоянных St , и б , которые находят
1 3 131из соотношений (1) и начальных условий. После вычисления указанных интегралов получим
= f =Ve1Shit*сг),
Vs^pr = SJUC3).
Из начальных условий определяем постоянные интегрирования. Окончательно
(f = 9i»>t, P3 = VtVT
б)
в) i=x-(U-ccoS
г) ^ = Cp2 = CLrCSin^ ^rSitI V^t),
ж- arcC05 tinVzt .
Ґ3 Уг
180. X=X0COS cot+Ztsin. Cuty .
iei/, "Kdl =
T0 0
где энергия S и угол определяются из начальных условий при /= t0 . Знаки плюс и минус отвечают соответственно положительному и отрицательному значениям обобщенного импуль—
съ т R2f . ^
182. Гcot-sen cot).
183. При помощи функции Лагранжа
Щ!
2 »
определяем обобщенные импульсы р и р ff . а за—
/9
тем выписываем функцию Гамильтона "
- 1 / 2 ^ 1 * L „ / і Ж0!
13 2Поскольку энергия S сохраняется, полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби
^^тчш^*^ (і»
имеет вид:
?>о(г;0)} (2)
где So(r70) - функция, подлежащая определению. После подстановки искомого решения (2) в уравнение (1) и умножения обеих частей равенства на 2т получим
г*{[# р2т[<Цг) -*]} + (&)'' гтвм-а. <3>
Уравнения такого вида решают разделением переменных, полагая
fo(r,e)*S,(r)+S2(0). (4)
Подстановка функции (4) в уравнение (3) дает
г'КФj W^6J/ *{%)*f2mЄ(вН-
(3)
Первые три слагаемых зависят лишь от переменной f , а последние два - только от в . Причем равенство (5) должно выполняться при любых значениях г и Q . Это возможно при условии
где сС - произвольная постоянная. Решая последние дифференциальные уравнения, находим и S2. В результате полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби принимает вид:
S = -6i*f ' dГ t (б)
где S и оС — независимые постоянные, которые определяются из начальных условий. Правильный знак перед интегралом легко установить, приравнивая между собой значения обобщенных импульсов, которые вычислены двумя способами: