Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
^ = Ц^fHM^UfH7 h
. -f. -ь— у- -й
*<? *tt ч)
б) L=-mc2
в) ^fjiff!-
137. аг = [р^^Ъ +,/Zг,-, )+ Ze'
I.V- C-3Sin2в /
138. ^ = 1^4?J ^ /-
\С1г+4г2 Г2 } CL
2 Itfa
13 9. а) Чтобы в функции Лагранжа L^ ~ ІР + -^-A ir-es перейти от декартовых к цилиндрическим координатам, воспользуемся разложением векторов и Л по ортам Т~Ґ , ^ и ^ цилиндрической системы координат: 116 JT=TrJ^Tif, Atft+ Pg Azy
где компоненты А(~ % Atj/ YL Аг вектора X выражены через цилиндрические координаты Г , У и Z , которые выбраны в качестве обобщенных. После этого функция Лагранжа запишется так I
где скалярный потенциал <f выражен через переменные h , и ? . Зная функцию Лагранжа, нетрудно найти энергию <f =
PrI / * 2 2 т 2 * 2 \
= (/¦"¦*/* -+2 ! + GtcP и обобщенные импульсы
Последние соотношения позволяют выразить обобщенные скорости A и 2 через , Ту, и Я. . После этого энергию & можно представить как функцию обобщенньос координат и обобщенных импульсов, чтобы она приняла физический смысл функции Гамильтона Jf . Окончательно получаем
fc- 14 fhn
б) *'Mz-i*rf+ ?(рв-M+pra-efriv^efl.c,
140.
fd „ • A
Г>7
P --3^—-ma cos P. j r-
P=O, -TTt-
, 2
141 - Рш c<?s & ^ 'P
о - -----mq Psirv O1 & = - *
є
^ ^ - __
142. По условию задачи энергия ? ~ Afth р является функцией обобщенного импульса р . Следовательно, она служит функцией Гамильтона Ж ~ Ah І к р . При помощи уравнения Га»» мильтона ~~ -Cj,/ находим искомую обобщенную скорость. Производную ^Аж. ' вычисляем дифференцированием по переменной р обеих частей равенства tk dC= P 5 а после дифференцирования полагаем Ж = <%> , Окончательно получаем y-tkz'6 .
143. По заданной Функции Л
агранжа заряженной частицы в элек?ромеі-нитном доле определяем эн-эргию 5 е
" 117 и обобщенный импульс P =»1ТГ+ -§-ЗГ. Используя эти величины, находим функцию Гамильтона в декартовых координатах
^rJr -^/W
Уравнения Гамильтона запишем в векторной форме
p = ^^(р-І-А).
При вычислении градиента воспользуемся формулой векторного анализа qj-cUjI 2 (аї^гсоСІ) ?+2 Cl* rot Cl и учтем, что при взятии частной производной по координате обобщенный импульс рассматривается как постоянная. В итоге первое из написанных уравнений Гамильтона принимает вид
-fF) ^acf)T+ {Г-§А)>ГоіТ]-^<ІС/?.
Чтобы получить уравнение Ньютона, левую часть этого уравнения запишем как т iP+ ~ (л с/J/ГJ, а в правой
положим /Г- miF и f~otyT— H . В результате указанных
преобразований приходим к искомому уравнению Ньютона тг- -
144. Если величина PffT сохраняется, то ее полная производная по времени обращается в нуль pf/J'—^ffT-Q. Наоборот, выполнение равенства M H-=O означает сохранение величины JTH в постоянномвмагнитном nong^JT .Представим правую часть соотношения /У = Ar"* P + h к P в другом виде при помощи уравнений Гамильтона
P= т?с [((P- і г)7+ (р-§7)' / -OtГ],
которые в общем виде приведены в предыдущей задаче. Здесь е-и т - заряд и масса частицы, с - скорость света в вакууме, а А - векторный потенциал магнитного поля. . Исследование значительно упрощается, если величины PmP выразить через радиус-вектор г- и скорость ТУ частицы, а в качестве векторного потенциала взять' AT- • Для этого вое пользу— ^
емся соотношениями P^-гп Vr4--?^ Д*х и P= [(ip^had)/4+ V*H\ ) вытекающими из уравнений Гамильтона, а также формулой векторного анализа (TX^raxJ) X^flracJ(vfrj-v* hot , тогда получим
118 M (FH)-Tt(VH)]. Отсюда видно, что скалярное произведение векторов M и H обращается в нуль, что доказывает сохранение величины MH в постоянном магнитном поле H .
145. a) Cjr с™*/ ? T 7
б) f-Vr^f70
146. a) P-Y==P*
в) .
147. а) а=}/г-Уг*іг1 І,
б)
fr Yjkr' р,'1>
Ъ VT-i? г
148. В качестве обобщенных координат возьмем декартовые X, у и z. Как и в задаче 143, определяем функцию Гамильтона заряженной частицы в заданном мигнитном поле
1 />2 . / /п ЄН ^ 1 п2
где Pc * Py И Pg - обобщеннье импульсы, отвечающие канонически сопряженным переменным X , у И 2 • Видно, что обобщенные координаты у и г являются циклическими. Следовательно, обобщенные импульсы Py и Pg сохраняются, так что Py = C^ и — Cgi где C1 и С2 - некоторые постоянные. Это обстоятельство позволяет представить функцию Гамильтона Ж в другом виде
.
, еН сРу п
где введено обозначение и)~-— и X =—. Первые два
тс н еН
слагаемые в функции Гамильтона описывают одномерный осциллятор массы т и частоты и) , координата sc которого колеблется около постоянного значения ос^ . Уравнения Гамильто—
119 на этого осциллятора после дифференцирования величины ^f по переменным je и P принимают вид:
mu)Z(X-*H)~-Px , -L-Pk-і .
Последние приводят к уравнению движения d2
—.(а:-.*«)+ и)2(х-хн) = 0
с решением
X = CL COS (и)і. *-оС) + Xff f
где а и оС - постоянные интегрирования.
Обобщенный импульс Px определяем из соотношения Px = --=тх , что дает Psc--Znciu) sift (и)t і-<?) .
Обобщенные координаты у и г находим из уравнений Га-мильтош: ^ dJf
dpV ' = * ¦
