Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Видно, что обобщенные импульсы Р{^—mr^ys Kp^-rng сохраняются, а энергия S зависит от переменной /-• и обобщенного импульса р = тр следующим образом:
г гї мі
f — -^jcl -t * - ?
Ztb 2т* +
где Z^.-/?. и 6=РІ2т. Являются интегралами движения.
г
Согласно общей формуле адиабатический инвариант имеет БИД: У?_
^lkjPrdr= JTI
гп
где а^—то значение переменной /- , для которой радиальная скорость обращается в нуль, а именно:
И.
П., =
Сделаем замену переменной интегрирования г-кCt , тогда
получим, 138і
Где I0- MJ
Видно, что адиабатический инвариант І. является функцией двух независимых величин (? ~ и M^- Чтобы адиабатический инвариант оставался неизменным при медленном изменении радиуса цилиндра, необходимо, чтобы величины (6 - &?)R2 и M^ были бы также постоянными. Поскольку 6? и M^ являются интегралами движения, получаем следующий закон изменения энергии S при адиабатическом расширении цилиндра: (6 - ZzJKz= const.
195- tO^ У" {J'Щ).
Где dp (S2= S - энергия механической системы.
198.1- / со , где (О — є И j/ті с ,a ?>j_ - энергия поперечного движения, которая вместе с энергией продольного движения составляют полную энергию частицы Sli .
<? ,
199. & at- = const,
200. Sx ~ T^J J- (?)] , где I — инвариант заряженной частицы в магнитном поле. Искомый период T дается выражением: Z2
T= ' '
?j г° тсі
где точки остановки ^ и являются корнями уравнения
В частном случае =N0^sJ CL2 имеем T — ^ , где
Vx(O) - модуль скорости поперечного движения в экваториальной плоскости Z- О .
.139ГЛАВА Ш
§ 15
/„2 г 2Mo гтг )?
202. Vr- ^f1 VlzV2Zc*'+ ^ Vi-ггї/с2' 2 V Vr-VsZc2'+ rn Yf- Zfflcz '
204. /77v ^ -ZTf^Icz, SfMm, л
г
206. f ^T VT^W1).
207 Zr- _?__Л .
VTPf^ 'Jyf-'
, с*
Уі-уг/сг '
208. f- Г+YAnic f t ) (ft*Y)*Y
AO + f'V/c
° 'VTyW7
210. =
212. Минимальную энергию налетающей частицы, при которой процесс образования новых частиц еще возможен, легко 140определить в ц-системе. Действительно, в ц-системе энергия рассматриваемой механической системы минимальна, когда после столкновения и образования новых частиц все они покоятся. Поэтому целесообразно установить связь между 4-импульсом частиц в л-системе до столкновения и полным 4-импульсом частиц в ц-системе после столкновения. Будем помечать штрихом величины после столкновения и образования новых частиц. Полные 4-импульсы частиц до и после столкновения в л-системе обозначим как (л) и J? (jij . Аналогичные величины в ц-системе сутъPk(Ut) иQ1(U4)' Поскольку квадрат любого 4-вектора инвариантен относительно преобразования Лоренца, имеем P^ (л) =P^ (Ut) , где по повторяющимся векторным индексам предполагается суммирование от 1 до 4. Далее воспользуемся законом сохранения энергии и импульса в четырехмерном обозначении P(U,J=Fk(Ut) . Указанные два равенства позволяют установить искомую связь F^(?) - Pk ( Ц) • Полученное
соотношение дает возможность определить минимальную энергию налетающей частицы, необходимую для образования новых частиц.
Применительно к задаче о столкновении двух электронов имеем -J?. . / .2 2 2
PkM^iPil, ргк) -Р,^2р1кргк+рг1^
= -2т2с2- 2 пъу
где Pff^z(pf) L ) и P2k = (O1Crrbc) - 4-импульсы налетающего и покоящегося электронов в л-системе. После столкновения и образования новых частиц в ц-системе все они покоятся, поэтому Pfk 2 (ц )--ISm2C2. Приравнивая полученные выражения, приходим к алгебраическому уравнению относительно с решением a>j ~ 7т. C2
213. Syl-
о
214. )тжС2.
215. T = 2(t+-Zff^ )гпс1
217. Cos 9 = 7 ~ «"ff.
C7 C2
.141218. Энергия и импульс механической системы сохраняются при распаде частицы на две, поэтому рк -P1 ^ P2k » где
Pk- { р~ -,<¦ ~с~ ) - 4-импульс исходной частицы перед распадом, ар -(^j *'S1) и рк~(р~> і ) - 4-импульсы образовавшихся частиц. Чтобы найти Q^ , возведем обе части равенства р^- ^р2к в квадРат и воспользуемся инвариантами
р^-(гггс)2 , P7^ -(тгс)г и P2k= ~(ггьгс)2' Скаляр-
Ное произведение Pjk P2I^s]*pf~е^ЁSf содержит косинус искомого угла Qj . Решая полученное алгебраическое уравнение относительно COS Qj и выражая модули импульсов частиц через их энергии при помощи соотношений Сг/р>(2= S г— ҐГ^С у и
С 2IP 12= 6 ?-Pb21 С 9 * находим
/' ґ 2 2 2 \ Ь
с03 ^ У/г
Аналогично определяем cos o2 путем возведения обеих частей равенства р- р^ = Pjk Б кваДРат» что дает
rncff -
05 2 -^22C1*)(62-rrSc*)]^ '
219. ^
1+1^( г-~соГв)
тс* 1 J__
221. COS S1 =(/- У
cos Gy — (f— ^2 )
/ V fi.
где 6J и Q2- углы вылета, a и 62 - энергии у -кван-тов в лабораторной системе координат.
222 — 26S^2M0C2(?y-6}f(^20-m2)cV
003 -- 26rV6*-m*C'
223. f'- <$r + rnC2-t ( 6 J — т. с^) CoS2г f 6^гггсг-(бггггс2}соь2вг '
Ct-- +тс2+(б7-ггьс2)COS2Q2 ^tiqZ
2 S1+тс2- (S7-по с2) cos2 Q2
.142§ 16
224. JL (r-V2IC2) f/2(F- Vj .
225. a) I - _Г_ 14^1 ¦
б) _с [j2/
^7I Jfr^rR2W2 '
226. Г )*/с*
1 c4(i~vz/c2)3 '
. / ZVf-V2Uy і3:
227 •
^ f "V2Zc2 j V^ Угь