Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
р О о
&С CU
где ^coS — поправка к амплитуде, а поправка к частоте колебаний отсутствует.
Найдем решение уравнения движения в третьем приближении, полагая
* = со — co(r)+c»(z{
Подставляем искомое решение в уравнение движения и начальные условия и приравниваем между собой члены одного порядка малости;
JC «Ч Ш 2X <»-2ctx(f>*> P*1"3+ 2 ^co COo CO M
oo(3)(O) = jc'3j((?l
.112 Если учесть предыдущие результаты, то решение первых
двух уравнений с учетом начальных условий можно написать
сразу 2
XifLct cos cot je l2)= 0^ а'2 (3--2COS cut-coc>2oot),
6 со* У
где CO=CO0Y СО ^ И CO^= О , а в множителе, входящем в xf\ квадрат частоты оэг заменен на сого , чтобы не превышать принятую точность вычисления.
Поправка со^к частоте определяется вместе с поправкой
(3)
х при помощи последнего уравнения, правую часть которого выпишем в явном виде
X (3iCO^SC (3)= (3 cos cot -2o0s*cot-cos cut cos2CO t) +
3 OOq 4
+? Ct3с OS 3 Cdt + 2 CO0 uu(2)ol соз cot.
Преобразуем правую часть этого уравнения так, чтобы она содержала гармонические функции в первой степени. Для этого воспользуемся формулами:
COb2Oot= -Jr(j+cos 2cotJ? cos cot соз 2.cut- -*r(cos3cot+co$ct)?)^ cos iCot= -L COS 3out+-§rCOS Catl После приведения подобных членов получим
a »IcfxPL - «14 сов ZcoU fV Ujo,/*
За}/ V * /
„ 3?а* +Zo3 eoWcA соз C01.
Согласно сказанному выше резонансное слагаемое в правой части данного уравнения должно отсутствовать, что выполняется при условии
JoO0 \ 3cO~ 2 Решение оставшегося уравнения ищем в виде: (з) і*) (з) и) , я ,
X -JC 1-Х • ОС = AaCOS cotф В SLn COt,
одн час 7 оди д з >
Obtfac-=Cf + ^2 cos 2cot t C3 cos 3 cot. 8-JOI ИЗ Произвольные постоянные A3 и Во определяются из начальных условий, а коэффициенты C^ , С2 и С3 находим подстановкой ) в исследуемое уравнение, что дает
Ґ - c^ ґ - c^ a^ ґ - c^ ( 00 — J С>~ Sco/' г~ Sc*: ' С»-16с*;и*>1 г Jy
2 Z
где вместо со подставлено COp , чтобы не превышать принятую точность вычисления. В итоге поправка третьего порядка запишется как
2 з
JcfiL A3 COS Out-h B3 Slrt cot і- c^ (cos 2cot - з) +
Q COq
16со* (3со* 2 J
Из начальных условий вытекает
Окончательная поправка третьего порядка принимает вид
JT^ (-?4+ -T- ) <»* (соз 2 cot-з) ,
19^o ( * 1 $ со] 1 7
JL )cos3cot. 16сю* \Зсо? 2 1
Поправка третьего порядка наравне с постоянным членом содержит колебания с одинарной, удвоенной и утроенной частотами. Итак, решение уравнения движения в третьем приближении найдено
L дсог0 \ Scoz0 г JJ
* ТЗІ ) (7' ^s^'
13 3. Используя функцию Лагранжа Ф2+ mg fcobfy
плоского маятника, составляем уравнение движения <fJ+со*sIn, С,
2 9-
где СО0~ р- , а у ~ отклонение маятника от направления силы 114 тяжести. Начальные условия #(о}=Уо и ф(о)-0 . Разложим функцию sitz <j> в ряд и сохраним первь е два слагаемых, а другие опустим как малые в силу неравенства. После этого уравнение движения принимает вид
у + CO2V у5+(Ой*- OO20) у.
Оно совпадает с исследованным в предыдущей задаче, как и начальные условия. Это обстоятельство позволяет воспользоваться полученными там общими формулами, положив в ниХсД?- f> , Cc-^0 ^oL=O и. В результате находим амплитуду и частоту со колебаний маятника с учетом первой отличной от нуля поправки:
s/- Г./7М
^ M'*™*} cffs^*' T92 005 3cv^ cj^ij-It JajO-
134. Sfoet,;*
у L Гбсс?\.г 9COq /J
* [З -4 сое cot-г со 5 2 cot) /
г*,2Cl3, . _ , CLi Ґ ? сС2 } ,
9 а?-0
0 4 CDn \ 2 ЗсО? J У OOn
ГЛАВА U
§ 10
135. а) Функция Гамильтона fa представляет собой энергию <| JT Jj q, -L механической системы, выраженную
^=-I J9JvC
через обобщенные координаты ^ И обобщенные импульсы P^c = L*
= » где ^ " Функция Лагранжа, а к - число степеней свооады. Из данного определения функции Гамильтона вытекает способ ее вычисления по заданной функции Лагранжа. Если
функция Лагранжа механической системы с двумя степенями Свободы имеет вид L- tyf - ф,2 / , то по общим фор-
мулам находим энергию <§ - о. сг - a2t ,а также обоб-
Уі72 2 7? 115 щенные импульсы P7 - % ^ И P2 - Cf -^t . Последние два соотно. шения позволяют выразить обобщенные скорости через обобщенные импульсы: fy7=P2+ P7 t » ~ Pi • Это обстоятельство дает возможность исключить обобщенные скорости из выражения длі энергии <э t после чего она приобретает физический смыс^ функции Гамильтона -р}р2+- ~р>21 %
б) wi^f-т
в) ж =У>+р?< /*? I1
136. а) Функции Лагранжа L и Гамильтона связаны соотношением L = JlI , в котором обобщен-
ная скорость, Pc^ - обобщенный импульс, а к — число степеней свободы механической системы. Поскольку функция Лагранж^ зависит от обобщенных координат ^ , обобщенных скоростей к и времени / , в правой части написанного равенства необходимо выразить обобщенные импульсы р через ^ и Qr при
д с?€ • c^
помощи уравнений Гамильтона - ^...,к) . Применяя
изложенную методику к механической системе с тремя степе, нями свободы, которая описывается функцией Гамильтона
