Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Алексеев А.И. -> "Техника вычислений в классической механике" -> 38

Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.

Алексеев А.И. Техника вычислений в классической механике — М.: МИФИ, 1984. — 148 c.
Скачать (прямая ссылка): tehnikavichesleniyvklassicheskoymeh1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 .. 41 >> Следующая


V Эг 7 Ґг 9Ґ 7

P j= — — « P=

в Э0 7 rB э9

.133 Производная от функции 5 по произвольной постоянной равна новой постоянной ? , а именно:

_ а

ЭоС ~ Г '

Это соотношение не содержит время / явно и связывает между собой переменные г* и ? , т.е. является уравнением траектории. Выполняя дифференцирование по оС » находим иско-» мый результат :

г ^r +{ Je

J r2V2m[?-a(r)]- Л " J Уы-ЗтЦв)' ґ *

184. Начало координат выберем в центре потенциального поля, а полярную ось JZ сферической системы координат на— правим вдоль вектора . Протон движется в плоскости XZ . Положение протона в этой плоскости будем отмечать сферическими координатами г и О (рис. 9).

Рис. 9

Используя функцию Лагранжа

L=-W^ (г2+г2 9г)~ cose,

определяем обобщенные импульсы Pr= т Ґ* и P8=ZTff в . Это позволяет написать гамильтониан протона, а затем уравнение Гамильтона - Якоби:

Как и в предыдущей задаче, последнее уравнение решаем разделением переменных. В результате искомое действие S принимает вид hg '

S = -ZiijVT^B- f2 с!ґ± J^aC-2 т eJcosв'de 5 (J)

О*, 0

где S и оС — независимые постоянные, а в качестве нижних пределов интегрирования в полученных интегралах взяты коор-134 динаты бесконечно удаленной начальной точки траектории. Постоянная S является энергией протона.

Чтобы установить правильный знак перед радикалами, приравняем между собой значения обобщенных импульсов, вычис—

ленных двумя способами: р =—— и р - , а также р ^ J^L

'/-* ar '/* дг ' ґв эё

up = JLa- . Это дает в дв

mr = у ггь г2в- і ]/сг ~2 m~ed cos в. (г)

Когда протон приближается к началу координат, имеем г-<о и 6>0 в области D^ Q <&0 , где Q0 — угловая координата точки траектории, в которой радиальная скорость обращается в нуль Г -О . В другой области Q0^ 9 протон удаляется от начала координат, и обе производные положительны ґ> о и в >0 . Эти особенности движения позволяют установить правильные знаки перед радикалами в (2) и (1), так что полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби запишется как

г _, в _,

S=-St-I у^т S- с/г + I ]?c-2теJcosв de при O^Q^ Bc 00 о

г____9

-2те dcose dQ при Q0-^Q1

Ґ° в°

где /-»и Q0- координаты точки, в которой ґ ~0

Производную от 5 по произвольной постоянной ос приравняем новой постоянной ? , тогда получим уравнение траектории

S

доС Г•

Выпишем последнее соотношение для области О^ Q Q0 в я BHONJ виде •'

Г dГ + Г с/в ? _

J г*У2т S-j^f' * J VoC~2medcos Q'

со h* О

Бесконечно удаленная точка с координатами = о=, и O = O прішадлежит траектории, поэтому^S =O .

После вычисления интегралов по переменной f получим &

о с

I

9C

a?,-^-f -arc Sin ^ ПРИ %<=*.

2med^ne а 2

Vi-1^fj-Cose

Видно, что величина B0 определяется выражением 9„

с/9 X

I VT-^ Cose ^ г '

а другая коордоната экстремальной точки траектории ro ^У^с^тб Таким образом, обе координаты г и B0 зависят от ос .

Чтобы найти постоянную ^ , воспользуемся соотношением , ^ .

^Wy=W

При и 9-** О имеем

(^p/^mvp, Pe^yoc-Znecl'.

Откуда находим ы. - 2т + ) .

Окончательно уравнение траектории протона принимает вид

в

f-

Je

ed COS в

arcSin і D^B<в0,

Зі -arc^/г в0 < 9,

6f>*+ed

где ^0= Vp^ted/& > а Угол onPeaenei1 выше.

В случае далеких пролетов &d &рг подынтегральную функцию в левой части полученного равенства разложим в быстро сходящийся ряд по малому параметру ^d # Ограничимся

Gfz

первыми двумя членами этого ряда, тогда интеграл вычисляется легко. Взяв синус от обеих частей полученного равенства, приходим к соотношению

S CfbfiO* Sine)=

26p

Второе слагаемое в аргументе синуса мало. Разлагая синус в ряд по переменной ci^ Sc/rl9 и отбрасывая слагаемые более высокого порядка^малости, находим уравнение траектории протона в случае далеких пролетов:

г Siri 9+Sirb2

185. Воспользуемся результатом предыдущей задачи и выпишем соотношение, которое определяет максимальный угол Qm отклонения протона от оси Z (см. рис. 9):

.136 / S HH

Je т = ж.

s/s

Подынтегральную функцию разложим в ряд по малому параметру ^ ^2 и оставим лишь два члена этого ряда. Тогда получим/* а

/Z 'rt

9+ 6

" 26/[ *WM-X9

о

где отброшены слагаемые, которые содержат малый параметр -^5- во второй и более высокой степени. Угол вм связан с

^ „------------------------

углом рассеяния рС равенством

Поэтому искомая связь угла рассеяния с прицельным параметром выражается формулой

.T-Z

,2 ,

2 Sf

из которой видно, что угол рассеяния мал \ j? « 1

Окончательно дифференциальное сечение de? рассеяния в телесный угол dQ-2xxdX в трех заданных случаях имеет вид

а) J^r^ І б) d*=3ihdA>

в) d6r= da .

166 X5F

§ 14

186. T-- , где CO = VoLfm'. 18Т.

.137 188. a) f = (V7-Yb)i б)

189. tsft^l

191.

ro V cosp j to*

где значение угла jB ограничено условием ^« / , характеризующим малые колебания.

192. Cl2Vk^-COCbst.

193. = CO^stv

194. Совместим ось Z с осью цилиндра и выпишем функцию Лагранжа в цилиндрических координатах
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 .. 41 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed