Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
V Эг 7 Ґг 9Ґ 7
P j= — — « P=
в Э0 7 rB э9
.133Производная от функции 5 по произвольной постоянной равна новой постоянной ? , а именно:
_ а
ЭоС ~ Г '
Это соотношение не содержит время / явно и связывает между собой переменные г* и ? , т.е. является уравнением траектории. Выполняя дифференцирование по оС » находим иско-» мый результат :
г ^r +{ Je
J r2V2m[?-a(r)]- Л " J Уы-ЗтЦв)' ґ *
184. Начало координат выберем в центре потенциального поля, а полярную ось JZ сферической системы координат на— правим вдоль вектора . Протон движется в плоскости XZ . Положение протона в этой плоскости будем отмечать сферическими координатами г и О (рис. 9).
Рис. 9
Используя функцию Лагранжа
L=-W^ (г2+г2 9г)~ cose,
определяем обобщенные импульсы Pr= т Ґ* и P8=ZTff в . Это позволяет написать гамильтониан протона, а затем уравнение Гамильтона - Якоби:
Как и в предыдущей задаче, последнее уравнение решаем разделением переменных. В результате искомое действие S принимает вид hg '
S = -ZiijVT^B- f2 с!ґ± J^aC-2 т eJcosв'de 5 (J)
О*, 0
где S и оС — независимые постоянные, а в качестве нижних пределов интегрирования в полученных интегралах взяты коор-134динаты бесконечно удаленной начальной точки траектории. Постоянная S является энергией протона.
Чтобы установить правильный знак перед радикалами, приравняем между собой значения обобщенных импульсов, вычис—
ленных двумя способами: р =—— и р - , а также р ^ J^L
'/-* ar '/* дг ' ґв эё
up = JLa- . Это дает в дв
mr = у ггь г2в- і ]/сг ~2 m~ed cos в. (г)
Когда протон приближается к началу координат, имеем г-<о и 6>0 в области D^ Q <&0 , где Q0 — угловая координата точки траектории, в которой радиальная скорость обращается в нуль Г -О . В другой области Q0^ 9 протон удаляется от начала координат, и обе производные положительны ґ> о и в >0 . Эти особенности движения позволяют установить правильные знаки перед радикалами в (2) и (1), так что полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби запишется как
г _, в _,
S=-St-I у^т S- с/г + I ]?c-2теJcosв de при O^Q^ Bc 00 о
г____9
-2те dcose dQ при Q0-^Q1
Ґ° в°
где /-»и Q0- координаты точки, в которой ґ ~0
Производную от 5 по произвольной постоянной ос приравняем новой постоянной ? , тогда получим уравнение траектории
S
доС Г•
Выпишем последнее соотношение для области О^ Q Q0 в я BHONJ виде •'
Г dГ + Г с/в ? _
J г*У2т S-j^f' * J VoC~2medcos Q'
со h* О
Бесконечно удаленная точка с координатами = о=, и O = O прішадлежит траектории, поэтому^S =O .
После вычисления интегралов по переменной f получим &
ос
I
9C
a?,-^-f -arc Sin ^ ПРИ %<=*.
2med^ne а 2
Vi-1^fj-Cose
Видно, что величина B0 определяется выражением 9„
с/9 X
I VT-^ Cose ^ г '
а другая коордоната экстремальной точки траектории ro ^У^с^тб Таким образом, обе координаты г и B0 зависят от ос .
Чтобы найти постоянную ^ , воспользуемся соотношением , ^ .
^Wy=W
При и 9-** О имеем
(^p/^mvp, Pe^yoc-Znecl'.
Откуда находим ы. - 2т + ) .
Окончательно уравнение траектории протона принимает вид
в
f-
Je
ed COS в
arcSin і D^B<в0,
Зі -arc^/г в0 < 9,
6f>*+ed
где ^0= Vp^ted/& > а Угол onPeaenei1 выше.
В случае далеких пролетов &d &рг подынтегральную функцию в левой части полученного равенства разложим в быстро сходящийся ряд по малому параметру ^d # Ограничимся
Gfz
первыми двумя членами этого ряда, тогда интеграл вычисляется легко. Взяв синус от обеих частей полученного равенства, приходим к соотношению
S CfbfiO* Sine)=
26p
Второе слагаемое в аргументе синуса мало. Разлагая синус в ряд по переменной ci^ Sc/rl9 и отбрасывая слагаемые более высокого порядка^малости, находим уравнение траектории протона в случае далеких пролетов:
г Siri 9+Sirb2
185. Воспользуемся результатом предыдущей задачи и выпишем соотношение, которое определяет максимальный угол Qm отклонения протона от оси Z (см. рис. 9):
.136/ S HH
Je т = ж.
s/s
Подынтегральную функцию разложим в ряд по малому параметру ^ ^2 и оставим лишь два члена этого ряда. Тогда получим/* а
/Z 'rt
9+ 6
" 26/[ *WM-X9
о
где отброшены слагаемые, которые содержат малый параметр -^5- во второй и более высокой степени. Угол вм связан с
^ „------------------------
углом рассеяния рС равенством
Поэтому искомая связь угла рассеяния с прицельным параметром выражается формулой
.T-Z
,2 ,
2 Sf
из которой видно, что угол рассеяния мал \ j? « 1
Окончательно дифференциальное сечение de? рассеяния в телесный угол dQ-2xxdX в трех заданных случаях имеет вид
а) J^r^ І б) d*=3ihdA>
в) d6r= da .
166 X5F
§ 14
186. T-- , где CO = VoLfm'. 18Т.
.137188. a) f = (V7-Yb)i б)
189. tsft^l
191.
ro V cosp j to*
где значение угла jB ограничено условием ^« / , характеризующим малые колебания.
192. Cl2Vk^-COCbst.
193. = CO^stv
194. Совместим ось Z с осью цилиндра и выпишем функцию Лагранжа в цилиндрических координатах