Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Алексеев А.И. -> "Техника вычислений в классической механике" -> 37

Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.

Алексеев А.И. Техника вычислений в классической механике — М.: МИФИ, 1984. — 148 c.
Скачать (прямая ссылка): tehnikavichesleniyvklassicheskoymeh1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 .. 41 >> Следующая


Видно, что сумма двух последних слагаемых левой части полученного уравнения есть величина постоянная

Причем из четырех постоянных Pr , P^ , ? и С независимы только три, так как все они связаны между собой соотношением: 1 г Jl

е~-?г(г7+ft)+?.

Из предыдущего уравнения (2) находим

flzhtjv^c+pz)' J*.

Функцию можно оставить в виде неопределенного

интеграла особенно в тех случаях, когда последний вычисляется сложно. Таким образом, имеем

9=-et+pfx+/>ay±jy2„(e+F3) 'dz,

Правильный знак перед радикалом легко установить, исследуя ІГ —ю проекцию импульса частицы

Fs=H^-V(С+Fz )' *

'JS

Чтобы вьшолнялось начальное условие, необходимо перед радикалом взять знак плюс, тогда

mtS ="\12гг>(С+Fz0) '>0.

В итоге полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби запишется как

$ = + +P2 y+fVz^ic+Fyf с/г.

$-501 і-5 В качестве независимых произвольных постоянных интегрирования уравнения Гамильтона - Якоби возьмем р , р2 и С „ После этого дифференцируем S по произвольным постоянным, а результат дифференцирования приравниваем новым постоянным^, C2 и C^ ,а именно:

Э 3 _ rt & 3 _ rt Э5 ^

3P7 1 7 эРг ~ 2 ' 3 '

Раскрываем полученные соотношения: Последний интеграл легко вычисляется :

jr V2m(Ct Fz)' = Ci .

Постоянные интегрирования Cr , C2 и C^ находим из начальных

ҐТЬ z.

условий с учетом соотношения С - V^-Fzo , которое вытекает из выражения для if-й проекции импульса р — V2m(CfFgrJ1 взятой в начальный момент времени. В результате имеем

/у г* — гг7(гг

cI^xO') с2~~ Уо> з ~ ~F

После этого определяем зависимость координаты 2 от времени

V2m (С?+Fe J= Ft + mvl >

Окончательно получаем

JT-X^ Vf t, ISj7^zo+ J~

179. а) Выпишем уравнение Гамильтона - Якоби

^ШщНщЯПІШ^0-

Поскольку энергия S сохраняется, искомая величина S содержит слагаемое -St . Кроме того, гамильтониан Jt разбивается на сумму слагаемых, каждое из которых зависит только от одной обобщенной координаты и соответствующего обобщенного импульса. Это позволяет искать полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби в виде суммы;



Подставим искомое решение в уравнение Гамильтона ™ Якоби 130 Левая часть равенства содержит три группы слагаемых, каждое из которых зависит лишь от одной обобщенной координаты соответственно ^f , ^ и ^ . Поскольку это равенство должно выполняться для произвольных значений Q , Cf2 и Cf , отсюда вытекает '

о . /Jc \2 о *



где ?^ , ёг И <§3 - произвольные постоянные, которые связаны с энергией соотношением:

&= S7I- ё3.

Интегрируя полученные дифференциальные уравнения, находим

Sg=± гJh^Jti,.

Чтобы установить правильный знак перед радикалам, воспользуемся равенствами:

^ ^L' ff "imW (1)

в начальный момент времени. Тогда придем к заключению, что перед радикалами следует взять знак плюс. Таким образом, действие принимает вид:

st* sjv%rfJdbf2jY^df/ гffaTT d%.

В качестве независимых постоянных интегрирования уравнения Гамильтона - Якоби возьмем S1 , &2 и 4? * ^родиф-ференцируем действие S по произвольным постоянным <f , S2 и S^ , а результат дифференцирования приравняем новым постоянным соответственно C7 , C2 и C3 , а именно:

Выпишем эти соотношения в явном виде:

При взятии интегралов иногда полезно использовать чис— леннье значения постоянных St , и б , которые находят

1 3 131 из соотношений (1) и начальных условий. После вычисления указанных интегралов получим

= f =Ve1Shit*сг),

Vs^pr = SJUC3).

Из начальных условий определяем постоянные интегрирования. Окончательно

(f = 9i»>t, P3 = VtVT

б)

в) i=x-(U-ccoS

г) ^ = Cp2 = CLrCSin^ ^rSitI V^t),

ж- arcC05 tinVzt .

Ґ3 Уг

180. X=X0COS cot+Ztsin. Cuty .

iei/, "Kdl =

T0 0

где энергия S и угол определяются из начальных условий при /= t0 . Знаки плюс и минус отвечают соответственно положительному и отрицательному значениям обобщенного импуль—

съ т R2f . ^

182. Гcot-sen cot).

183. При помощи функции Лагранжа

Щ!

2 »

определяем обобщенные импульсы р и р ff . а за—

/9

тем выписываем функцию Гамильтона "

- 1 / 2 ^ 1 * L „ / і Ж0!

13 2 Поскольку энергия S сохраняется, полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби

^^тчш^*^ (і»

имеет вид:

?>о(г;0)} (2)

где So(r70) - функция, подлежащая определению. После подстановки искомого решения (2) в уравнение (1) и умножения обеих частей равенства на 2т получим

г*{[# р2т[<Цг) -*]} + (&)'' гтвм-а. <3>

Уравнения такого вида решают разделением переменных, полагая

fo(r,e)*S,(r)+S2(0). (4)

Подстановка функции (4) в уравнение (3) дает

г'КФj W^6J/ *{%)*f2mЄ(вН-

(3)

Первые три слагаемых зависят лишь от переменной f , а последние два - только от в . Причем равенство (5) должно выполняться при любых значениях г и Q . Это возможно при условии

где сС - произвольная постоянная. Решая последние дифференциальные уравнения, находим и S2. В результате полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби принимает вид:

S = -6i*f ' dГ t (б)

где S и оС — независимые постоянные, которые определяются из начальных условий. Правильный знак перед интегралом легко установить, приравнивая между собой значения обобщенных импульсов, которые вычислены двумя способами:
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 .. 41 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed