Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
У U-Visjc/с2)2^* '-МЬ/с* C2 Г
^2 ?__Ь
I * /- VTYIC2 C2 J >
vZ (Г-YirJc2)2 { * J-ViKcIc ¦г/-г
TF=
228. IT= СУ 7- (¦ rr^ }2
Y \?0 + e<f J '
—
229. Направим ось X параллельно вектору E , тогда
m2eVr с2 6Zirt , *х2 2/2 2 I -EJ-I=S = (,Py + Р? J9
где использовано S = (т. сг)2+с2р~2 и 6 Vr/C2. Здесь
гп и р" — масса и импульс движущейся частицы. Из уравнения движения ,
dt е?:
имеем ^=e?(t-t0J+poje^f>y =Poy ''P2=Poz . где Pa - импульс в некоторый фиксированный момент времени і . Поскольку
143 э 2 г а і.
р у-/®, - f>Dy + Poz-COfiSt, величина I также не меняется со
временем.
230. Подставим в уравнение движения р*- F величину Jfr= g іTjс2 и воспользуемся соотношением S = Tp W » тогда полупим с а. /7tWm
Поскольку скорость параллельна или антипараллельна вектору ^r, последнее равенство можно записать в виде
F=-Krir+^?. Cc- сг
Решая это уравнение относительно величины F , находим
W2 T?2 4
O32 Г J, 1 ) (Fvr)V.
VJ^W ( Yi-Tr2Ic2 J V* 9
r-Г'У 7 71 .
^rM 7I ** г
=Г* 23ГЯ*.Nrrx V-т? 2ЯК ІЇттГгР
233- F =-ЪтгШТ-'
234.
YhrVzIc2
L-^lZl?i/. J--Ifox, p _ 2с\рву\р 6о+сРл-г.
* е? і о еЕ ? 6оу
где ось антипараллельна вектору В , а ось К лежит плоскости движения. Кроме того, введено обозначение
Se=VfmetKSiFi S0g-VfaWofa'.
где использовано обозначение
? > 5 Yj-Velc2 ' Д Vox h
Здесь принято, что ось 2" лежит в граничной плоскости и расположена параллельно вектору , а ось X направлена в сторону магнитного поля перпендикулярно граничной плоскости.
d rnr _ mrV2 е df (г)
144 236" Л ^^2 Vf1T3^r'' Jr ' j тг2ф _
-I-U9
9 о , , Vl-г .
где V +Г ft , а величина J-—;-// представляет со—
Vl-V2J C2
бой момент частицы.
OO7 d Л/гЛ _ гггг(в% Slrb2G ф2) all
dt V^W Yf-V2Zc2' *г '
^rl с 2& Cnrs сп, ff соз 9 У _ &ZT
dt~Vr^rW1 " Vr-V-2Zc2 ' эв ?
J Г7ЬҐ2зСгі& <Z> _ <9 U
dt VrzVsZe2' эу 9
где V-2= г*+ Г20Z* Г2Sin2&'ф2.
238. Поскольку моментM= сохраняется, движе-
ние частицы происходит в плоскости/3// = ^ , проходящей через центр потенциального поля. Выберем в этой плоскости полярные координаты г и у/ и выпишем уравнение движения:
d mr _ mrp2 __ U
dt Vr-iStc2~ Vr^Sfi2 Г2 9
d т/*2?
df VI-V2Zc2'
Сохраняющимися величинами являются энергия
2
р _ T7ъС_ _ оС
и момент м , который по абсолютной величине запишется как
„= -
Vr-V2Zc2
Используя закон сохранения момента, проведем замену переменной дифференцирования в первом уравнении движения согласно формуле /-,
с/ _ M V7-V2Zc2 оі JT тгг И?'
В результате получим
d2 J . (. оі? \ 7 осі
dy2 Г M2с2 і г rfzc2 '
Общее решение этого уравнения:
10-501 145
17 M2C2 і W VrJrPOh
2^ р
' оіЖ 1 Mc У
где и » постоянные интегрирования.
Полярную ось выберем так, чтобы C2-O . Кроме того, введем удобное обозначение ^ - б/р , где ? - новая постоянная интегрирования. После этого искомое решение примет кано«. нический вид
+Sops(VTzIfP).
Полученное выражение является уравнением траектории, в котором параметр ? определяется из условия задачи. Выразим его через сохраняющиеся величины и M . Для этого продифференцируем по времени обе части уравнения траектории
Видно, что в точке пересечения траектории с полярной осью радиальная скорость обращается в нуль, а скорость TtF перпендикулярна радиус-вектору. Поэтому в этой точке с координатами Г0 VL~(f>~0 имеют место равенства:
у. - тсг___м_ тггггґ^
УЩР^ п, ' Vf=UW1 г°
Первые два соотношения дают возможность выразить га через % и M , а третье позволяет представить искомый параметр ? как функцию сохраняющихся величин
Вщ траектории существенно зависит от S и M . В данной задаче движение финитно при "g^mc2 и инфинитно в случае § ^ т-гъс ^
239. Повторяя рассуждения, которые были приведены при \ задачи, прихс
Л-L=-A-
dcfs? г Qe
оешении предьщущей задачи, приходим к уравнению
Ii-L--A
с общим решением
.146 где yjQ и C0 — постоянные интегрирования. Для определения по« следних продифференцируем по времени обе части полученного соотношения:
_ ^ W-VJP
Qe
Видно, что существует точка траектории с координатами f~t"0 и lP^yj0 і в которой радиальная скорость обращается в нуль, а скорость Vу перпендикулярна радиус-вектору. В этой точке выполняются соотношения:
» _ mc* _gg м-JJ^o
rO VT=UW rO
которые позволяют найти одну из постоянных интегрирования
о ZQeS
Другая постоянная интегрирования ^ зависит от выбора полярной оси. Направим полярную ось в точку траектории, где радиальная скорость обращается в нуль. Тогда у ~ о и уравнение траектории примет вид
2 Qe Л
г ----
m2C*
ПРИЛОЖЕНИЕ
ТАБЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Г п. , + г 1. \Х Ci JC - , ПФ-Ї.
J П+1 7
2. jste.= enx.
3' $7а?Лег ^arcsin f-^ir-arccos f •
147
cfx
CL2-+ ^c2
7.
с/V
a arc^ -f -
8
. j и af Tf =u?s--Ji/cf и.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау ЛЛ.. Лифшиц Е.М. Механика. - M.: Наука, 1973.
2. Ландау Л.Д.. ЛиФшиц E.JM. Теория поля. -JVl.: Наука, 1973.
