Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Принимая теперь во внимание первый и второй интегралы (5.11) гл. 2, окончательно будем иметь
Нетрудно убедиться, "что постоянная D связана с интегральной характеристикой решения N0. Именно,
Для удобства вычислений формулу (2.29) можно еще записать
§'-K0(Hi) + і
8/0(8) K1(Hi) + HlK0(Hi) J1(B) Al (8) (я? + є2)
- 0. (2.27)
OO 1
— 2 Jlj s^n ах ^aJ (2.28)
о о
, ч D id
Ф {Х) ~ м (е) dx
(2.29)
і
(2.30)
192 гл. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
в форме
"•(и> -dt +
_/ > D JtM е Г
4w- УГ~? MmVм<'>J
(2-зі)
г=і
Из (2.31) имеем
JV
«/ (8)
Iim ф (х) Vi — х% = D + jfj-r- + 2л cJi (g^' к-»±1 ' 1 г=1
На основании результатов (2.27), (2.31) может быть доказана следующая [8]
Теорема 4.1. Интегральное уравнение (2.10), (2.11) с дополнительным условием (2.30) однозначно разрешимо при любом N<oo в классе to(x) = q>(x)Yi — X2 ^ C(—l, 1), если выполнено условие (2.6) и четная функция f(x) принадлежит Hi2+8 (—Is 1) (6>0). При этом имеет место соотношение корректности
Il© (®) Ilc < гп (N) Il / (х) I ./,+в. (2.32)
hI
Доказательство теоремы основано на представлении функции f(x) в виде ряда Фурье и использовании формулы (2.31) при е = кп (к = 0, 1, ...),
§ 3. Другие варианты задач типа Ь) и связанные с ними методы решения
Поставим еще две задачи типа Ь), несколько отличающиеся
по свойствам символа ядра К (и) от свойств (1.8) задачи, рас-
смотренной в § 1.
1. Пусть поверхность упругой (с постоянными G2, V2) полуплоскости (у < 0) усилена по всей границе (г/ = 0, Ы<°°)'
тонким упругим (с постояндыми G1, Vi) слоем толщины h.
Рассмотрим задачу (рис. 4.1)’
о вдавливании без трения силой P с эксцентриситетом приложения е в верхнюю границу такого составного основания штампа ширины 2а, форма основания которого описывается функцией Рис. 4.1 У §(х).'
§ 3. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)
193
Граничные условия задачи запишутся в виде: при у = H
= 0 ( M < оо), ау'=0 (1 ж| >а),| 3
V1 =— [Ь + ах —g(x)] (I я К а);
прп у = 0
Oy = Oy, Xxy = Toci/i V1 = V2, U1 = и2, (3.2)
папряжения в бесконечно удаленных точках принимаются равными нулю. В (3.1) функция б + ах характеризует собой жесткое перемещение штампа под действием приложенной к нему силы P и момента Ре.
Будем считать, что HZa 0,2 и Ti = QiZQ2 = О (a/h) (Bi = = Gi(I-Vi)-1, г = 1, 2); тогда усиливающее покрытие можно моделировать накладкой [9], описываемой уравнениями
ZG1Hu1 = — (I — V1) (T1 — т2) — O^v1Zi (al + (?)* (3.3)
V1 (х, Н) — Vi (х, 0) = 0, Oi-O2 = O,
где T1 = Txy (X, Н), X2 = Txy (х, 0), CT1 = CTy (х, Н), G2 = CTy (х, 0), а штрихами обозначены производные по х.
С помощью формул (3.3) граничным условиям (3.1), (3.2) можно теперь придать вид: при у = О
ZGlHu2 = (I V1) тху V1H (сТу) ,
Oy = O (I a; I >а), V2 = — [8 + ах — g (х)] (|жКа);^^
напряжения в полуплоскости при хг + у2 оо исчезают.
Решение уравнений Ламе (2.4) гл. 1 при 6 = 0 с граничными
условиями (3.4) в полуплоскости у 0 будем искать в форме
интегралов Фурье
OO OO
и(х, у) = Tj^-J и (а, у) e~xaxda, v(x, у) = J V (а, у) e~iaxda.
— OO — OO
(3.5)
Тогда относительно трансформант UnV придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
(I _ 2v2) Ul- 2(1- V2) a2U - iaV'y = О,
2(1- v2) Vl-(I- 2v2) aW - iaU'y = 0. '
С учетом затухания напряжений прп у -*¦ — оо из (3.6) имеем U = (al + a2\a\y)eWv, V = і sgna(a, — Jta2 + аг\а\у)е[аЬ. (3.7)
Здесь к = 3 — 4V2, CLi и а2 — функции от а, подлежащие определению из граничных условий (3.4). По известным перемещениям
13 в. М. Александров, Е, В, Коваленко
194 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
(3.5), (3.7) в согласии с формулами (2.5) гл. 1 определим в полуплоскости напряжения
OO
iG С
ох = — J (аг + 2v2a2 + аг \ а | у) aeMy~iaxda,
— OO
OO
iG С
Oy = ~ J к — 2 (I — V2) а2 + а21 а | у] ae]a]y~iaxdat (3.8)
— О*
OO
*хУ = J Ia1 — (1 — 2v2) а2 + а2 і а і у] I а I e]a]y~iaxda.
— OO
Далее, следуя схеме решения смешанных задач, изложенной в гл. 1, с помощью формул (3.5), (3.7) и (3.8) удовлетворим граничным условиям (3.4) и приведем рассматриваемую задачу к интегральному уравнению относительно функции распределения контактных давлений:
«
I q^k ігш~) = лт02[б + ах ~ 8^ (I * I < а)>
—л
оо
kW = Ju (u+1)’ C0SUtdU’ (3-9)
о
т = п{^п- гцл)-1, ? = 0,25(3 - 4v2) (I - V2)-2, ri = 0,25(1 — 2v2) (I-V2)-1, ^ = V1(I-Vi)-1C В безразмерных переменных и обозначениях
, _ х w _______ E * _____2nh
Х ~ S_t’ ~Т'
Ф (I') = Q (I) 9Г\ / (*') = № + ах — S (*)] а-1 уравнение (3.9) примет вид (штрихи опускаем)
(3.10)
1
J ф (I) к (Цр-) = лт/ (х) (|ж|<1). (3.11)
Последнее совпадает с уравнением (7.1) гл. 1, (1.9) гл. 2 с символом ядра К(и) = (и + m)u~l(u + I)-1, соответствующим случаю Ь). Здесь, в отличие от (1.8), для символа имеют место следую-
§ 3. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)
195
щие асимптотические представления: