- .
( ):
Из-за наличия тензорных индексов у и G^ нам придется ввести пространственные координаты в системе центра масс частиц в /-канале. Мы введем следующие векторы:
е+" г? ipi
-—<5-6>
е_
/2 lpl(l-z2),/2 Q
60 IQ
Физическая интерпретация векторов е проста: е+ и е_ ортогональны вектору Q и соответствуют волновым функциям частиц (или векторному току!) со спином единица, спиральностями +1 и —1 и импульсом Q, тогда как е0 соответствует волновой функции с нулевой
318
Глава 5
спиральностью. Нам также понадобятся еще три вектора d0, d+ и d_, определяемые следующим образом:
(Единичный вектор, лежащий в плоскости векторов р н QN и ортогональный к р. Направление вектора d0 фиксируется L условием d0 = e0 при 2 = 0, (1— гг)'^! — + 1 /
d+ = WT7r(p + z"doX р)‘
, ' (5-7)
d_ “ vTTpT <р—,d“х р>'
Наконец, прежде чем записать правило сумм, отметим, что величины (e+)r (e+)sAat (р, Q; fy, Я-Г) могут зависеть только от t, q2, q' и z\ причина состоит в том, что свёртка векторов е с Ars инвариантна при вращениях, а в нашей специальной системе независимыми скалярами относительно вращений являются величины t, q2, q' и z. Аналогично величины (d+)r Qrc могут зависеть только от t.
Теперь мы выпишем результат, который получается после" перехода к бесконечному импульсу в правиле сумм (5.1)'):
QI
(e+)r (e+)S Аа (*> я'2-’ b ч) 1 - z VA
1-2*
1+2.
dz —
= -£f-(d+)rGrc{tY, (5.8)
Vi
где мы использовали отмеченный выше факт, что величины Ars, свернутые с векторами е, и величины Gr, свернутые с векторами d, зависят только от выписанных переменных. Для того чтобы это правило сумм выглядело по крайней мере правдоподобным, посмотрим, как из него получаются более простые правила сумм предыдущей главы. Там мы имели q2 — q'2, < = 0 и бесспи-новые состояния I и f, так что Xf — Kj = 0; в этом слу-
*) В литературе имеется много частных случаев формулы (5.8). Стандартными „первыми ссылками" являются ссылки на работы Фубиии [1] н Дашена и Гелл-Манна [1]. Вывод соотношения (5.8) из теории дисперсионных соотношений для случая, когда inf имеют бонн 0 или 7г> можно иайти, например, в работе Муциниха [1]. После того как была иапнсаиа эта глава, иам сообщили, что Баидер (М. Band е г) независимо вывел общее правило сумм (5.8).
Дальнейшие сведения о правилах сумм
319
чае, используя справедливое для случая равных масс соотношение |p||Q|z= — v, правило сумм (5.8) можно привести к виду
_1_J ЮгМПа <»• «*> ^__.£“.()Ц,0;(0). (б.9)
Далее, для бесспиновых частиц величина A*1* является тензором, и мы можем представить ее в виде разложения (4.16). Записанное в /-ка1нале в наших обозначениях разложение имеет вид
Ars = prpsB, (v, q2) + QrQsB2 (v, q2) +
+y(QV + QV)53(v, q2) ~ &rsB4 (v, q\
где В — те же скалярные функции от v и q2, что и раньше. Используя затем соотношения е+ • р = = 2“‘/г (1 — г2)7* | р |, е+ • Q = 0 и е+ ■ е+ = 0, легко проверить, что равенство (5.9) эквивалентно следующему:
М J Вх (v, <?2)rfv = - /-^|.(d+)rOj (0). (5.10)
Таким образом, интеграл в формуле (5.10) равен интегралу в (4.19); проверим, что правые части этих соотношений также совпадают. В правиле сумм (4.19) мы имели а=1+г'2, 6=1—г'2, что для правой части формулы (5.10) дает — Y2(d+)rGl- Для бесспиновых частиц г и f с равными массами величина G§ должна иметь вид1) Gr3 = 2prF{t), причем F(0) равно третьей компоненте изотопического спина. Таким образом, (d+)r G5(0)----У2|р|/з, и соотношение (5.10) эквива-
