- .
( ):
|f(v)|<vS», P<-1, (9)
то она должна удовлетворять соотношению
J Im / (v) dv = 0. (10)
Физическая значимость предыдущих формул следует из того, что в случае рассеяния частиц с высшими спинами условие унитарности налагает на некоторые амплитуды чрезвычайно жесткие ограничения при высоких энергиях, подобные (9). Отсюда следует, что эти амплитуды должны удовлетворять условиям типа (10) ')•
Мы покажем, что для высших спинов условие унитарности приводит для некоторых амплитуд к ограничениям, значительно более сильным, чем ограничение s (In s)2,. полученное Фруассаром [3] для бесспинового
случая. Причиной этого является то, что при использо-
вании условия унитарности возникает сумма по промежуточным состояниям с дополнительными степенями энергии, появляющимися за счет проекционных операторов частиц с высшими спинами.
Рассмотрим сначала простое наводящее соображение, иллюстрирующее ограничение Фруассара для амплитуды /l(s, t) скалярной частицы. Воспользуемся при высоких энергиях оптической теоремой вместе с очевидным условием, что полное сечение превышает чисто упругое:
Im A(s, °)> -jj-^===r J M(s, (11)
') Тесная связь между правилами сумм и высокоэнергетическим поведением была ранее отмечена Газиоровичем [7].
13. Правила сумм для сильных взаимодействий
309
Если предположить' постоянство наклона дифракционного пика, мы получим неравенство
1А (s’ ^ < const • Im А, (12)
которое приводит к простому условию
| A (s, 0) | < const - s. (13)
Разумеется, грубое условие постоянства наклона
дифракционного пика можно опустить, допуская мед-
ленное логарифмическое изменение (например, как в случае движущихся полюсов Редже). Это приводит к дополнительным логарифмическим членам в высокоэнергетическом пределе. Применим теперь эти рассуждения к р — я-рассеянию и воспользуемся „ортогональным разложением"
Т = а/а + p/р + yly + б/в, (14)
где
/„ = (е,Р') (е2П /р = j {(Bin Ш + (чР) Ш),
/у = (e,Q) (82Q), I6 = (etN) (e2N),
Р\1 — Рц-----qT" Qh> = BjivpePvQpA<T,
(P'Q) — (P'N) = (QN) = 0, (15)
и амплитуды a, p, у и б являются линейными комбинациями А, В и CIt 2.
Используя опять оптическую теорему и требуя, чтобы полное сечение было больше вкладов а, р, у и б1), получаем (Р'2 ~ s2 при S-+ оо)
s4 J | a (s, t) |2 dt < const • s2CTtot,
s2 f Q2|p(s, t) p t dt < const • sV01,
, , (16)
J Q2|y (s, t) I212 dt < const • s2atot,
s4 J Q4|6 (s, t) |2 tA dt < const • s2atot.
*) Отметим, что вследствие нашего ортогонального разложения интерференционные члены не возникают.
310 В.Де Альфаро, С. Фубини, К. Росетти, Дж. Фурлан
Окончательно, выражая а, р, у и й через А, В, С,, а и используя предположение о постоянстве наклона, получаем следующие ограничения:
M(s, 0) |< const • s_1, |£(s, 0) |< const,
I Ci, 2 (s. 0) | < const-s. (17)
Конечно, наш способ „получения" ограничений (17) весьма эвристичен. По-видимому, более систематическое . использование условия унитарности для каждой парциальной волны может, как и в бесспиновом случае, привести к точным ограничениям, которые совпадают с нашими неравенствами (17) с точностью до логарифмических факторов.
