- .
( ):
Вернемся теперь к правилу сумм, которое мы получили из алгебры токов, и посмотрим, как оно входит в систему соотношений (5.25). Для того чтобы иметь дело с рассеянием частиц, мы заменим оставшийся ток р-мезоном и опустим верхние индексы у амплитуды Г, которая соответствует теперь процессу р + р -> / + i. Амплитуду в подынтегральном выражении в правиле сумм можно представить в виде
где Я —полином по г степени — A,j-| — 2), если | Kf — Xj | > 2, и. просто единица, если | Xf — Xj J 2. (Асимптотическое поведение произведения P(z)Tx^-; i _i всегда
имеет вид г"-2.) Теперь ясно, что правила сумм, полученные из алгебры токов, всегда приводят к сверхсходящимся правилам сумм, совместным с соотношениями (5.25), но не дают в общем случае всех правил сумм, содержащихся в (5.25), даже для рассеяния частиц, которые, подобно р-мезону, имеют те же квантовые числа, что и токи.
Vc{г’ о ->2а(<)-м, М = Мах (| Н I ц |); (5-24)
j 2" АР {fV-; кАь- (г, <)}. dz = 0, (5.25)
п = 0, 1, ..., М-2, 0<а(0<1, п *=>(), 1, ..М — 1, а (/)<().
амплитуд Т и асимптотическое поведение (5.24).
330
Глава 5
Мы хотим привести пример практического использования спиральных амплитуд для получения сверхсходящихся правил сумм, но вначале сделаем небольшое замечание. Обычно удобнее работать не с амплитудами Т, а с их линейными комбинациями
fV* Vc ± kD~XB' V'c'
Эти комбинации обладают полезными свойствами, которые перечислены в приложении Д.
Простейший интересный с физической точки зрения пример сверхсходимости представляет комптоновское рассеяние фотонов на мишени В со спином */2. В t-канале этому процессу соответствует реакция YY -*■ ВВ\ мы будем работать с амплитудами
= Тч, V,; I -1 + f-4, -*/*; 1 -1. ^
Ш.2 — Ту, -1/,; 1 -I — Г-1/, 1/а; 1 -1»
где мы выделили множитель t, поскольку оказывается, что амплитуды Т имеют кинематический нуль при t = 0. Существуют, конечно, и другие амплитуды, но они ие приводят к интересным правилам сумм. В приложении Д показано, что амплитуда 2Wt четна по г, а ЗЯ2 нечетна и что они имеют следующее асимптотическое поведение:
SK1~ze«"2 + 2a""8, Wi~za"-2 + 3?"-\ .(6.28)
где аее — ведущая траектория с положительными сигнатурой и четностью (типа 0+, 2+, 4+, ...), а аое — ведущая траектория с отрицательной сигнатурой и положительной четностью (типа 1+, 3+, 5+, ...). Если мы ограничимся областью вблизи t = 0, то кандидаты в аее
лучше всего классифицировать по изотопическому спину: для 1 = 0 мы имеем померанчукон с аР ~ 1, для 1=1 имеем Лг-траекторию с ал,V2, для / = 2 траектории неизвестны. О траекториях аое, за исключением того, что 0^(0) < 1, почти ничего не известно.
Дальнейшие сведения о правилах сумм 831
Очевидно, можно считать, что амплитуда 3№2 является
сверхсходящейся Гт. е. lim гШ2{г, t) = 01, и мы получаем [ z-> ОО J
правило сумм
| AP{2K2(z, t)}zdz = 0. (5.29)
Интеграл в этом равенстве содержит вклад одночастичного промежуточного состояния и вклад непрерывного спектра. Переходя к / = 0 в соотношении (5.29), получаем
