Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
І(2п+ і)(и-иі)!
PrS(X),
2 (п + т)\
3>f(z) для K(z), &?(z) для Qi(Z) (Re г > 1), <sX(z) для <(«Йг),
Q*(z) ДЛЯ si"(" + Qi(Z).
Встречаются и некоторые другие обозначения функций Лежандра.
8.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
8.1.1. (I-Is)
Л
¦ 2z^+fv(v+ 1)-dz L
їб
V называется степенью, [і — порядком; точки z = ±1, оо являются, вообще говоря, особыми, а именно обыкновенными точками ветвления; [л з v — произвольные комплексные постоянные.
Pv(z), Qv(z) — присоединенные функции Лежандра (сферические функции) соответственно первого и второго рода *)
I arg(z ± 1)| < те, I arg 2І < 7Г,
(2* _ i)tx/B =(z - i)st/a + iyl2i
При р.=0, целом неотрицательном v Pv (Z) — многочлены Лежандра (см. гл. 22).
8.1.2. P?(z) — ' Г^ + ІГЛ-v, v+1;
Г(1-(I)Li-I J I
1 -ц; (! 1 - zl < 2),
где F(a, b, ei z) — гипергеометрическая функция (см. гл. 15).
8.1.3. Q?(z) = е'-даг-»-1*1"1^!1-^ X
1> -)- 3/2)
I 2 2 2 2 2 2 Z1J
(I Zl >1).
•) ФункцгатаЄ,Ф)_/С05т<РР№мв)' [ siti tr,<? (соS 6) сферическими гармониками первого рода, тессералышми для т < п и секторналъпьтми для т = п. При 0 ^ Q < т., 0 ^ ср < 2тг они являются однозначными и непрерывными функциями на поверхности единичной сферы JC2 + + Z1 = 1, где X = sin 0 cos 9, у = зі а 0 sin ? и Z = =S cos 6.
называются
Представления через гипергеометрическую функцию
С помощью формул преобразования гипергсометри-ческой функции может быть получен еще целый ряд выражений, аналогичных приведенным ниже (см. [8.1]).
8.1.4. Р?(г) = i1!\zz - 1)-*« X 2 2 2 2 2
; Ii ,)
Г fl_--Jilrfl+--Ji) 12 2 2} { 2 2j
1 2 2 2_2 2 2 )
1 ( 2 + 2 2 ) Г( 2 2 )
8.1.5. Р?(г)
X F
2-v-i^-i/s „ 1----^jr-VH tA-X
([Z8I < 1).
(2* _ l)W*T(-v - v.) Г I+»_Ji. i+l-u; v + 1; Z-A-
V 2 2 2 22 2 J
2VF + vj z-
X F
(z' - l)«s Г(1 + V - (і)
2 2 2 2 2 )
(I Z-'I < 1). .6. C-iimQ^(Z) = Г(1 + у + ц) Г(- ц) (z - I)"'' (z + 1) 2Г(1 + V _ ц) ' , I + v; 1 + (і; -Цг^) +
(-T
X F\
ц/а
+ ІГ(ц)(г + l)>"a(z - l)-«s f|-v, 1 + v;l _n;
i^) (II -Zl < 2). 8.3. ЗНАЧЕНИЯ НА РАЗРЕЗЕ
155
!.1.7. - 7!1'?^1 _ l)-w« X
f rIi + ^+"]
х ) t Z 2 2I c±m(vi-v-l)(2 x
xff-I-Д i + ^-Ji; і; A-I 2 2 2 2 2 2 j
J fl + - +c±'"(l"-vl'2 + _!—-x
_ л _ U. I 2 2 2
1 + -
.?. 3 .
(U3Kl).
Верхний (нижний) знад берется, когда Im z> О (Im z < 0).
Вронскиан 8.1.8. W{K(z),?!f(z)} =
ev«2wr p + * + 2j Г
8.1.9. JT{P„(z), Є»«} =
- (Z8-I)-'.
8.2. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ ЛЕЖАНДРА
Г(м - ц+ 1)
Отрицательная степень
8.2.1. A_iM =
8.2.2. Є-v-iW = (-Ite4utCos VTtK(Z) +
+ ЄЇ(г) Sin [*(» + |i) ] }/sin [7U(V — |l)].
Отрицательный аргумент (Im z J 0)
8.2.3. K(-z) = eT""rf(z) _
_ Ie-V sin [*(„+ ^leS(Z).
TC
8.2.4. Qi(.-z) = - ^'"Sf(Z).
Отрицательный порядок
8.2.5. P7»(z) =
I'(v-
r(v + H + 1)
- - Є-Щ"яи(іиі)е!
1.2.6. 67?= (-»'-^^іі'йі)
r(v + H + 1)
Степень ,1 +-і И норядок V +
(Re z > 0)
л _ 1)1/1 ""?jfz)
8.2.7. РЗСІ'ДІ —1 - ?
"If-И + , +
8.2.8. ?ir-V/lf— -1 =
и " " [(Z= _ Ifl'j
С 1 I1'3 . .і
" " ІІ *J rt~v" ^(г" -1)1/4д(г)-
8.3. ЗНАЧЕНИЯ НА РАЗРЕЗЕ
(-1 <х< 1)
8.3.1. А) = - [e'^ife + І0) +
2
+ '!"'2Pjfct _ /0)].
8.3.2. Р?(х) - Ci ± ;0).
8.3.3. Р» - m-h-^le-'»*l2Qt(x + Ї0) -
_ (.WgJ0t _ ,-„д.
8.3.4. Q^(x) - -і ?-""[?^1"''??* + І») +
+ ^4"??* - ІО)].
Формулы ДЛЯ PvW и ov(^) получены При 2 = Ж ± ІО заменой z — 1 на (1 — х) е±п, (Za - 1) ва (1 - **) ^i'",
г + 1 па * + 1. 1J6
8. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДР4
8.4. ЯВНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
(х — cos OJ
8.4.1. P0(Z)j- I, P0W= 1.
8.4.2. 0„(z) =Y1" (тїіт) '
8.4.3. P,(z) - z, P1(X) ^x = cos 0.
8.4.4. C,(z)= I In (-f^-J-j - 1.
I.
8.4.5. Pa(z)- - (3za - 1), P1(X) - - (3xa - 1) = 2 2
. - (3 cos 29 + 1). 4
3z 2
8.4.6. ?Ш- 4 P=(z) In (f -
«"-m-t^fi-T-
Обе функции P^ и удовлетворяют одним н тем же рекуррентным соотношениям.
8.5.1. P?"(z) =
8.5. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
8.5.3. (V - и + 1) P^iW-=
= (2V + 1)zPj(z) - (v + ц) P?_i(z).
= (za - 1)-"= {(v - j^zPftz) - (» +|x)Pv"L,(z)}. 8.5.2. (z»~ 1) = (v + n) (v - |i + 1) (г3 - 1)"= x
X PT1(Z) - V-ZP^(Z).
, dffc) -' dz
8.5.5. Pjf+i(z) PVB_,(z) + (2v + 1) (z= - 1)"4*~\z).
8.6. ЧАСТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
x = 0
8.6.1. P,"(0) = 2V1" cos J-i r(* + (i)J X «.6.2. e?(0) - - sin Tttv + K)J X
8.6.3. 0 =- 211+1!!-1" 5in[-i n(» + H)j X
8.6.4. »«««[т ,(V + (X)] X
8.6.5. Witf(X), ?fo))*,» =
11-4-)11-1-1)
(л - m = 1, 2, 3,..
8.6.6. P™(z) (z! - 1)™'"
<г™р,Ы
P?(x) = (-1)-(1 -at
. dmPJx)
8.6.7. Qi,(z) = (Zt - l)""a
JW1 dz™
e™(.v) = (- i)-(i - jy» iuSM.
dxm
±i 2
8.6.8. Pl12(Z) = (г» - і)-1" (271)-1" {[z + (2> _ ])!,«]»+!;!+
+ tz + (z' - l)1"]-:-1"}. 8.8. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАйЛЕВИЯ
157
,,.і 1 2 V'-[z2 — IH'*
8.6.9. r;"\z) =I- ^-У— {[z-K2a-l)">Jw>_
Inj 2v+l
- [г + (z8 - І)"«]-»-1'1}.
8.6.10. 0Ї'2(г) ^ ,j-i- 7tj"V- IJ-uMz-Kzi-1)1"]-"-"'.
