Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
8.6.11. Cyv2(Z) - -K2*)"i(Z' ~ 1^"' X
2і + 1
XU + (і* - І)1'=]-"-!«.
8.6.12. fl"(cos 0) = J''" (sin в)-'" cosjjv + J-J ej.
8.6.13. ?lr'(cos Є) =. -^Jlrt(Siiie)-W= sin^v + IJe].
-8.6.14. P7l?(cos0) =
= (} *J + "J ' I»'"' + }J в] '
8.6.15. в^'%03 0) =
(2Tt)"s (2v + І)-1 (sin Є)-1" cos IJv 4 IJ ej .
8.6.16. Pv v(z)
H=-V
2-"(z2 - І)«1
8.6.17. Pv '(cos Є) :
Г(» + D
2-^ипЄ)' " T(v + 1) '
Ii = 0, V^n
8.6.18. Формула Родрига P„(z) =
1 d«(z' - 1)"
2»л!
dz*
8.6.19. Q„(x) =, - Г„(х)
2 1-х
»Vi«,
где
Wi) =
2n — 1 « ,4 2n — 5 „
—-Ui) + --- T*-Ax) +
IB 3(n- 1)
+ + ... = у- -L Ри_,(х) Р„-„(.ї),
5(п - 2) m
W^1(X) = 0.
V =. О, 1
8.6.21. [«^».в) ] L av J
8.6.22.
= — tg — — 2 ctg — In (cos — ) .
2 2 I г!
1 9..0,,-,(- 0)
— tg — sin---H кіп 0 Inl cos — .
2 2 2 I 2]
8.7. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
(О < в < ж) 8.7.1. fftcos 0) = it-1" 2"+,(si» в)" X
X r<v + Et + '> у- <1* + '/2>'<» +H + 'Ь 1> + 3/2) fa
кЬ + У2%
X sin [(v + ц + 2к + 1)в].
8.7.2. ЄЇ (cos в) - Jt1" T (sin Of X
х Г(у + ц + і) А(|і+1/2)ц(У+Ц + 1)>„
T(v + 3/2) fa, kl (v + 3/2),
X cos [(v + [і + 2k + 1) в].
8.7.3. P„(cos 0) =
2""г(яІ)а it(2n+ 1)!
X Tsin (n + 1)0 + Ulsin (n + 3)8 +
L 2n + 3
+ ll3 („ + 1) (, Hljls.П(Я + 5)Є + 2! (2л + 3)(2п + 5)
8.7.4. ?)„(cos в) = ^UM X (In + 1)!
x ?cos (n -i- 1) 0 + " + oos (n + 3) 6 +
2n +3 1-3 (n + 1) (и + 2)
2! (In + 3) (2и + 5)
cos (n + 5)6 +...].
8.8. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
(г не принадлежи!- интервалу ( со, - 1) действительной оси)
8.8.1. PlT(z) =
2-У - 1)-»" Г(-ї- !*)!>+ і)
. (z + Ch О""4-1 X
x(slw)wa (Re (—ja) > Re v> — і). Г(|х+1/2) f(v -TT+T) *
X (Zs - 1)1"8 ^ [z + (zs - і)1'8 ch (sh Ow dl
° (R«(»±|t+1)>0).
8.8.3. C.W--L ^ (z-1)-^.(,) dl =(-\r»g.(-z).
-I
Другие интегральные представления см. в [8.2], [8.22]. 1J6
8. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДР4
8.9. ФОРМУЛЫ СУММИРОВАНИЯ
1.9.1. (5 - z) g (2m + 1) Pm(z) PUD =
W-о
- (я -н IJ [ЛніОВД - г,(I)P^,«].
8.9.2. (5 - г) (lm + 1) P„(r)?„(S) „
- 1 - (в + l)[P,+,(z)?,(5) - P»(z)e,„(5)].
8.10. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Для фиксированных г. v и Re ^ —оо формулы 8.10.1 — 8.10.3 являются асимптотическими разложениями, если z не принадлежит интервалам действительной оси (— оо, — 1) и (+», +1). Верхний (нижний) знак в следующих формулах берется, когда Im z > 0 (Ira z < 0).
8.10.1. Pj(z) :
Г(у + + 1) Tftt- v) Iz + 1
TtlXli + 1)
sin ця v, v+1; 1 + ц; -j + Z
У
Sin ^itl7t sin [LIS
^Г'Ь^И'))-
X Г(ц- v)^-y, у + 1; 1 + 1 + izj-
e-'^cosec [it(v - ц)]
8.10.3. Q~"(z) =
2яГ(1 + н)
Если в формуле 8.1.2 заменить ^ на —[х, то получим асимптотическое разложение для Pv при фиксированных, 2, V и Re [і -+со; при этом z не должно лежать в интервале ( — со, —1) действительной оси.
При фиксированных z, ц n Re v со 8.10.4 и 8.10.6 являются асимптотическими разложениями, если г не принадлежит интервалам (—со, —1) и (+оо, Н-1) действительной оси. В 8.10.5 предполагается, что z не лежит в интервале (—со, +1) действительной оси.
8.10.4. Pj(Z) = (2it)-1/a(za - 1)-і»Г<" + ''+1) X Г(У + 3/2) ,
X J[z + (zs - l)1"]»+1'* Pl
I 2 2
и;- + 2 2
* V*- в'"')+ Іг~(г°~ Ґ11- +
(1
z + (z* - I)1«
1 3 , --|л;--[-У;
2 2 . 2(za - I)1''
I}'
3.10.5. Qi(Z) - eW-]l"(za- 1)-'" r("+f-m I 2 J Г(у + 3/2)
X[z-(za- l)V=f+>'«pfI +1i,i _ м;2 + у;
12 2 2
-Z + (za - I)1'''
1Q
а У
8.10.6. Q_v(i) -
'(ff
(za - 1)~]
2(za — I)1"
Г(ц + V) X
SinWn-V)] Г(1/2-ц)
X {cos Vit [z + (Za-I)1"]*-1" f(-L + H і _ 1.2 2
1 , Z + (z! - I)1"-!
- Iі;--h>; ----— +
2 2(z - i)>'a j
+ Ieim cos nit[z - (za — IJ1I-SJv-1" x
-z + (Za - IFrIl
: ЛІ+,. l + v; 12 2 2
2(z2 - l)1"
Аналогичное асимптотическое разложение для P-v(z) может быть выведено из 8.10.4 с учетом 8,2.1.
8.10.7. К (cos,в).
T(V-HH-J) ,
Г(у + 3/2)
8.10.8. eftcos в) - Qv+MJ) f_JL.l- х Г(у + 3/2) (2 sin 0 )
хсо^у + 1|б + Л + ^+0(у-)
(е < е < It - е, в > 0). Другие асимптотические разложения см. в [8:7], 18.9]. 8.13. СВЯЗЬ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ИНТЕГРАЛАМИ
159
Ниже даются некоторые специальные свойства, присущие только данному классу функций; другие свойства и представления вытекают из материала, изложенного в предыдущих разделах.
8.11.1. РЇ-1,2(с1іті)=.[Г(1-ц)Г12«'(1-г-г'Г'' x х e-(v+42),^1 _ л 1. + v-ц; 1-2|і; 1 - «r^J .
8.11.2. Fn- l/2(ch ті) -
Г(п + т + 1/2) (sh ті)'
8.11. ФУНКЦИИ ТОРА (ИЛИ КОЛЬЦА)
8.11.3. Qy—ijz (ch 1]) - [Г(1 + vj]-1 JH x
X Г 4- V + [xj (1 — е-2")" F + ц, і +
+ V + (і; 1 + V; e-2»J.
8.11.4. QZ- т (ch T]) -
Г(п - т + 1/2) 2»V*r|„, + Vjj
Г (sin !?y™cltf
I (ch 1) + cos f sh n)«™+"»
ch mt dt
(- 1)T(|| +1/2) Г " Г(п - m + 1/2) J (ch V) + Ch (sh і))«+1«
(п > т).
8.12. ФУНКЦИИ КОНУСА (P%2+e.Ccos 6)'e-i/2+a(cos6)).
Здейь даются некоторые специфические свойства этих функций. Другие формулы получаются из изложенного
