Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
в предыдущих разделах при v =--+ it. (X—веществен-
2
ный параметр) и г — cos 0.
4Ха +Iа 0
8.12.1. Р_ ,,^ix(COSie) = 1 + sin' - +
(4Ха + I-XWiJSlh. Є (05;е<П).
2'4а 2
8.12.2. Р_1/2+а (cos в) _ P_l?_a(cos в).
8.12.3. P
л/2+a (со» в) =
^2(cos I — cos 0)
8.12.4. e_1/2Tix(cos6) =
, . , .. Ґ cos Xt dt — ± J sh Л7І V ~---- - -
J V2(ch t + cos 0) 0
8.12.5. P_wa(-cos 0) =
ch Xtc
Г Ch Xt
J V2(c"h~'
cos 8)
[?_4j+a(cos « + ?_,/2_u<cos 6)].
8.13. СВЯЗЬ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ИНТЕГРАЛАМИ
(см. гл. 17)
(Re 7) > 0)
,13., Wiy^t [Щ
8.13.2. Р-и1 (ch г,) = ^ ch К (th J ¦
8.13.3. е-!,, И = '
8.13.4. ?-i/j (ch ті) - le-*'1 K(S-V).
8.13.5. P1,, (z) = А (г + ^-?^-,) •
8.13.6. Pljs(Ail) = - є"'2 «VI - е-2').
7Г
8.13.7. Sm(Z) -Z IZf^1 X(^rI7)-
-1 < * < 1
8.13.8.
8.13.9. Р-и, (cos Щ - - К (sin -5 J ¦
8.13.10. в-„,Ы = К
8.13.12. СіпМ-*(уШ] - 1J6 8. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДР4
8.14. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАПДРА
8.Ї4.1. j Pv(x) Qr(х) dx = Rp - v) (р + V + I)]"1
(Re р > Re V > 0).
8.14.2. $Є«(*)ЄР(Х)
= Kp - (р + v + і)Г1 [ф(р 4-і) - Ф0> + 1)
(Re (р + v)>-I, р + V +1 ф 0; V, р Ф -1, -2, -3,...)
во
8.14.3. J [?v(x)№ = (2» + 1Г1 ф'(» + 1) і
8.14.4. ^ PJx) PJx) dx - ~ [(р - v)(p + V + І)Г" X
x {2 sin TtV sin тер I4> (v -(- 1) - <Kp + 1)1 +
+ те sin(itp - a»)} (p + V + 1 Ф 0).
8.14.5. I [Pv(x)]* dx --
2(sin rv)2 ф'(" + 1) . *"(* + 1/2)
8.14.6. \ (Мх)&(х№ - Kp - v) (p + V + 1)) 1 X
8.14.6. ^
-і
X|№(V
+ 1) — ф(р + 1)] [I + COS Р7Г COS vn] -
1
--r sin (vit — рте) }
2 )
(p + V + 1 Ф 0; v,p Ф -1,-2,-3,...).
l
8.14.7. ^ Шх)І4х = (2v + I)-1 X
X I ^ Ks - +'(v + 1) Ll + (COS Vit)'] J
(v Ф -1, -2, -3, ...)
I
8.14.8. J PJx)Qe(x) dx = [(V - P) (P + V + ОГ1 X —i
f 2 X і 1 — cos (рте — VTl)--sin TCV COS TtV X
I *
X [<|,(v + 1) - Ф(р + 1)]J (Re V > 0, Re P > 0, p ф V).
8.14.9. \ Pv(X) ?v(x) dx =
(2v + 1Г1 sin 2vni|.'(v + 1) (Re V > 0).
Для целых положительных m, я, 1 верны следующие формулы;
- C-I)'
\х) Щх) dx =
1 _ (-1)'+«(И +т)!_
(/-»)(/ +и + J) (»->»)! '
8.14.11. J Р™(х) Ff (х) dx - 0 (1Фп).
-1 і
8.14.12. ^ Р» (х) Р&х) (1 — X2)"1 dx - 0 (1фт).
8.14.13. \ KWls dx jп H- -ij ' (и + тУ.Кп - га)!.
8.14.14. Jd- .**)"' [/T(X)Fdx = (л + m)!/m(n - т)1 — і
і
8.14.15. Jpv(x)xPrfx =
ді/і2-Р-ІГ(1 + р)
(Re р > —1).
r(l + ip-i^(ip+lv+|)
8.14.16. ^ (sin I)*-1 Pv14 (cos ї) dt = о
__H_х
-r(i+i«+lv)r(i.-iv)r(i, + Iv+1)
х -!-1- (Re(a ± !<) > 0).
8.14.17. PZn(I) - (га - 1)-»» J ... J P,(z) №)".
8.14.18. S7"(z) = (- І № - 1 У'""- J - J Є"<г> Другие интегралы см. в [8.2J, [S.4J, P-jsI * * гл- 22- S.I4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
161
p'r.lW
1.0 л
15 J,/ \
и M
0.5 0 / / . . / .
о г оа! ги as 1.0 X
-05 M
-1.0 /
-1.5 ,У
Рис. 8.2. РЦх); п = 1(1)3, х « 1.
Pp т
Рис. 8.3. IVOt); п = 0(1)3, X » 1.
AOJ
1 г з ь s s 7 а a ю X
Рис. 8.5. QJiX); п = 0(1)3, * > 1.
11 — под ред. В. А. Дигкина, Л. Н. Кармазиной 1J6
8. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДР4
ПРИМЕРЫ
Вычисление Рп(х)
Для всех значений х (кроме нуля) потеря значащих цифр при использовании рекуррентного соотношения 8.5.3 для возрастающих значений и — небольшая. Пример 1, Вычислить /V» Для значений
* 0.31415 92654 і
: 2.6 при л S= 2(1)8.
п IVO.31415 92654) Г.С2.6)
0 1 1 0.31415 92654 1 2.6
2 -0.35195 59340 9.64
3 -0.39372 32064 40.04
4 0.04750 63122 174.952
5 0.34184 27517 786.74336
б 0,15729 86975 3604.350016
7 -0.20123 39354 16729.51005
8 -0.25617 29328 78402.55522
Из табл. 22.9 получим с десятью значащими цифрами следующие значения:
Pe(0.31415 92654)= -0.25617 2933, Pe(2.6) = 78402.55526.
Вычисление Qnix)
Длях< 1 применение рекуррентной формулы 8.5.3 для возрастающих значений п дает небольшую потерю значащих цифр. Однако для х > 1 рекуррентное соотношение 8.5.3 может быть использовано только для убывающих значений и. При этом начальные значения получаются из выражений Qn(x) через гипергеометрические функции.
Пример 2. Вычислить Qa(X) для х = 0.31435 92654 н п = 0(1)4.
Воспользуемся формулами 8.4.2 и 8.4.4 для получения исходных значенийбв(л) и ?i(*), затем применим 8.5.3:
Q (0.31415 926J4)
0.32515 34813 -0.89785 00212 -0.58567 85953 0.29190 60854 0.59974 26989
Используя результаты примера 1 и формулу 8.6.19, найдем
S1W ¦
AWIn
7 1
где Ws--Р, + — P1, откуда
4 3
0,(0.31415 92654) = 0.59974 26989. Пример 3. Вычислить Qa(x) для X = 2.6. Чтобы получить F j"---- -2 , v + * ; v + — ;
і)
с девятью значащими цифрами, необходимо взять 10 членов гипергеометрического ряда, входящего и формулу 8.1.3; имеем QJ.2.6) = 4,8182 4468 X IO"5. Используя 8.5.3 для возрастающих значений и, получим
Ся(2.б)
0.40546 51081 0.05420 928 0.00868 364 0.00148 95 0.00026 49 0.00004 81
Здесь Q0 и Q1 получены из 8.4.2 и 8.4.4.
Вычисление ^iv2(A), Q±l? W
Для всех значений хP+\?(x) и Q±\?(x) наиболее просто вычисляются с помощью формул 8.13.
