Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Подчеркнем еще следующее. В ньютоновской теории захват на шар происходит с ударом о его поверхность. В поле Шварцшильда захваченное тело подходит к сфере Шварцшильда по спиральной траектории, совершив конечное число оборотов, асимптотически замедляя для далекого наблюдателя свою скорость. Такой подход растягивается на бесконечное время для внешнего наблюда- § 10] ДВИЖЕНИЕ УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
129
теля, как это подробно описапо в § 4 гл. 3 для случая движения по радиусу. Никакого удара здесь нет. Заметим еще, что траектория подходит к сфере Шварцшильда всегда перпендикулярно, по радиусу (см. (3.6.1а, Ь)). Поэтому все формулы, приведенные в § 4 гл. 3 для частицы, падающей по радиусу, будут вблизи сферы Шварцшильда асимптотически справедливы и в общем случае ненулевого момента а падающей частицы *).
§ 10. Движение ультрарелятивистских частиц и лучей света
Рассмотрим теперь прямо противоположный случай движения частицы, всюду (и даже] на бесконечности) являющейся ультрарелятивистской. Такими частицами всегда являются фотоны и нейтрино.
Уравнение для частицы, движущейся в поле Шварцшильда с фундаментальной скоростью с, получается из (3.4.1а, Ь) предельным переходом V00 -v с, что соответствует 2? -v оо, a -v оо. Эти бесконечности, очевидно, следствия нормировки энергии на тс2, а момента на mrgC. Замечая, что при E -v оо, a!E -v Z, где Z— прицельное расстояние траектории на бесконечности, получаем в пределе E -voo:
(S' = 1-?+!. і3-10-1«»
В плоском пространстве отсутствуют слагаемое I2Irs в (3.10.1а) и член 1/г в (3.10.1b); при этом x = г. В этом случае мы имеем равномерное движение по прямой.
Наличие члена Z/r3 и различие между г и а: приводит к тому, что луч света, проходя вблизи тяготеющей массы, отклоняется от прямолинейного движения. При больших Z (а значит, и больших Tmin) это отклонение невелико. Для луча, касающегося поверхности Солнца, оно составляет 1",75. Именно это предсказание Эйнштейна, блестяще подтвержденное во время полного
*) Разумеется, мы все время подразумеваем, что в релятивистском случае движения центральная масса уже сколлапсировала, и частица не наталкивается на ее поверхность.
Рис. 14. Кривая зависимости rmjn ультра-релятивистской частицы от прицельно г° расстояния: I — прицельное расстояние на
І з VrJ
бесконечности. Частицы с -7— < —-— iS
гравитационно захватываются. Заштрихована область, где движение невозможно. 130 сферически-симметричное поле тйготения ?гл. з
солнечного затмения 1918 г,, было одним из первых экспериментальных доказательств справедливости общей теории относительности *).
При малых г траектория луча может сильно отличаться от прямой. «Кривая поворота» — зависимость гтщ от Z — изображена на рис. 14. Из этого рисунка видно, что луч (или ультрарелятивистская частица), идущий из бесконечности с прицельным
3 Vs
параметром Z ^—|— =2,6 (напомним, что все расстояния измеряются в единицах rg), не встречает кривой поворота и, следовательно, гравитационно захватывается. В этом случае, как и в случае нерелятивистской частицы, траектория подходит к сфере Шварцшильда перпендикулярно. Здесь так же вблизи предельной сферы справедливы асимптотические формулы, приведенные в § 4 гл. 3 для случая радиального движения. В частности, время приближения луча к сфере Шварцшильда для внешне* го наблюдателя растягивается в бесконечность.
Итак, сечение гравитационного захвата ультрарелятивистской частицы or = 27 4. Заметим еще, что луч света, испущенный источником, находящимся на радиусе г, может уйти на бесконечность не при всех углах выхода (в системе Шварцшильда). На рис. 15 лучи, выходящие внутри заштрихованного конуса, не уходят в бесконечность, а лучи, изображенные стрелками, уходят в бесконечность. Формула для угла я|) (рис. 15)
Рис. 15. Гравитационный захват излучения: лучи, вышедшие из каждой точки внутри конической полости, сечение которой заштриховано на рисунке, гравитационно захватываются.
Itg^i =
(3.10.2)
§11. Движение тел в поле тяготения Шварцшильда с учетом гравитационного излучения
Учет гравитационного излучения даже в слабом поле тяготения качественно меняет картину движения, если энергия движения тела на бесконечности мала. Так, например, тело, имеющее на бесконечности очень малую энергию, после полета вблизи притяги-
*) Современное состояние вопроса см. в докладе Торна (1971b). § И] ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ШВАРЦШИЛЬДА 131
вающего центра и высвечивания энергии в виде гравитационных волн уже будет обладать отрицательной энергией, т. е. окажется гравитационно захваченным. Однако такой захват чисто формален, ибо потеря энергии при излучении в слабом поле крайне мала. Из формулы (3.11.1), выведенной ниже, следует, что, например, для двух обычных звезд одинаковой массы, сближающихся из бесконечности на расстояние порядка их размеров, захват произойдет только в том случае, если их относительная скорость на бесконечности меньше — 1 см/сек *). При этом их максимальное удаление после «захвата» (если скорость V00 1 см/сек) будет — 3-Ю26 см = IO8 пс (1). Напомним, что размер нашей Галактики на четыре порядка меньше. (Подчеркнем также, что мы рассматриваем материальные точки. Для протяженных тел велики приливные силы).
