Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
dr dt
Y
2 GM
ГГо
(Го-г).
Выражение (3.5.1) показывает скорость изменения координаты г по часам далекого наблюдателя. Местный неподвижный наблюдатель, находящийся рядом с падающим телом, определит его скорость так:
, AVA
dx _ dr 1
dx
dt
1 -
g r
1-
1 —
T0 J
(3.5.2)
dx
G приближением тела к гравитационному радиусу —> с. Сов-
сем иначе меняется скорость ля.
dx "dt
по часам t далекого наблюдате-Г1/а dr
Используя формулу (3.5.1), находим dx — Л__—> 0
dt \ г J dt при г ->- rg. Разумеется, стремление скорости к нулю выз-
*) «Фиолетовое» смещение, вызванное у лучей, приходящих из космоса на Землю, ее гравитационным полем, составляет всего Асо/со a 10~9, и мы им пренебрегаем. § 5] РАДИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ Ц9
вано замедлением течения времени вблизи rg (ср. § 4 гл. 3). Скорость
V = есть величина, имеющая непосредственный физический
смысл. Ее измеряет покоящийся в той же точке наблюдатель. Именно она входит в выражение локальной энергии частицы (т. е. кинетической энергии, измеренной местным наблюдателем) по
тс2
формуле Елок =— — и т. д. Естественно, при падении
/4-і)"
частицы эта скорость все время возрастает под действием тяготения. Скорость , которая определяется через время далекого
наблюдателя, такого непосредственного смысла не имеет. Вдали
dx dx dr
от тяготеющей массы = = и для падающей частицы
dx dx
возрастает, но вблизи массы уменьшается и, как мы видели
выше, стремится к нулю при г rg. Однако это уменьшение вызвано не «отталкиванием со стороны центрального тела», как неудачно пишет Мак-Витти (1961, стр. 136), а указанной выше связью между временами т и %
Из формулы (3.5.2) следует, что при движении частицы сохраняется величина
тс2 r = тс2 Vi --Z-=E,
_ Г Y Го '
V <-4
которая является полной энергией частицы в поле тяготения. Интеграл
T0
расходится на верхнем пределе, если г = rg. Таким образом, время впадения частицы до rg всегда бесконечно. Даже для света, время распространения которого от г0 до г определяется интегрированием (3.4.1) и равно
д* = J^ZL + Ji- In^l, (3.5.4)
С, С г — rg 9 4 '
промежуток времени Асоответствующий достижению rg1 обращается в бесконечность, а быстрее света ничто двигаться не может.
Итак, по часам далекого неподвижного наблюдателя время достижения rg всегда равно бесконечности. Любое тело, под действием і 20
СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ [ГЛ 3
каких бы сил оно ни находилось, может только асимптотически приближаться к rg. Каково время падения по часам, установленным на самой падающей частице? Свяжем систему отсчета с частицей. В этой системе часы не меняют положения, поэтому для них
ds = с dT, где T — показание часов. Отсюда AT = Но
ds есть инвариантная величина, не меняющаяся при переходе к другой системе; ее можно вычислить в любой системе. Вычислим ds в системе Шварцшильда:
ЛГ = -Н]/ TiFY--Vdr- (3'5-5)
f (-Ш) l~r dr
Используя для выражение (3.5.1), видим, что (3.5.5) сходится при любом верхнем пределе, в том числе и при г = rg. В частности, если частица падает с параболической скоростью dr
(т. е. —-г- =0 на бесконечности), то время падения от гг до г
dt
дг= 2
[(t)'"-(t)"l
— формула, совпадающая с формулой ньютоновской теории, если вместо rg подставить его выражение. Здесь гг — положение частицы в момент начала отсчета AT. Итак, время падения до rg по часам частицы конечно. То, что бесконечно во времени внешнего наблюдателя, конечно по часам падающего. Можно ли привести более наглядную иллюстрацию относительности понятия временной бесконечности?
Нам остается сделать только одно пояснение. С помощью выражения (3.5.3) можно найти г = г Щ, т. е. положение пробной частицы в момент t по часам далекого наблюдателя. Но это, конечно, не то место, где этот наблюдатель видит частицы в момент t; свету нужно некоторое время Ati, чтобы пройти путь от частицы до наблюдателя. Это время легко рассчитать по формуле (3.5.4). Обозначим время прихода света к наблюдателю через U:
U = t + At (3.5.7)
Когда частица приближается к гравитационному радиусу, і оо и At-*- оо, поэтому t* и подавно стремится к бесконечности. Таким образом, наблюдатель видит, что частица только асимптотически за бесконечное время приближается к гравитационному радиусу. С помощью приведенных выше выражений нетрудно получить формулу г = r(t*) для падающей частицы, т. е. тот закон, по которому наблюдатель видит приближение частицы к гра- § 5] РАДИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ 121
витационному радиусу. Для г -^rg асимптотический вид этой формулы таков:
с (f*-«1)
г ^rg+(T1-TgYe 2^ (3.5.8)
Здесь T1 — положение частицы в момент формула применима при (T1 - rg) <С rg.
Посмотрим теперь, как будет меняться яркость излучателя, падающего в поле Шварцшильда, для внешнего наблюдателя. Пусть в некоторый момент падающий источник находится вблизи
tg и движется с локальной скоростью = v по радиусу, соединяющему центральное тело с далеким наблюдателем А; для сопутствующего наблюдателя, падающего вместе с источником, источник излучает изотропно с постоянной интенсивностью. Тогда плотность потока на бесконечности I00 будет для наблюдателя А :
