Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Движение пробной частицы с E1 1 в потенциальной яме (см. рис. 10) аналогично ньютоновскому движению, разобранному выше. Только, в отличие от ньютоновской теории, орбита частиц не есть замкнутая кривая (подробности см. в книге Богородского, (1962)). В ньютоновской задаче период радиальных колебаний
Рис. 9. Потендиальная кривая радиальной составляющей движения в ньютоновской теории при фиксированном моменте а,. По вертикали отложена полная энергия, включающая массу покоя частицы, в единицах 771с2. E1 < 1 — горизонталь финитного (эллиптического) движения; Ег > 1 — горизонталь гиперболического движения. 124
СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ "ҐЯГОЇЕНЙЯ [ГЛ 3
«случайно» равен времени изменения ф на 2я, что и означает замкнутость кривой; в ОТО это не так. Знаменитое вековое смещение перигелия Меркурия на 43" в столетие есть проявление этой особенности.
При 1 <[ E2 <[ 2?щах, а, (см. рис. 10) горизонталь E2 = const справа уходит в бесконечность, а слева упирается в кривую поворота. В этом случае частица приходит из бесконечности и
уходит в бесконечность, аналогично гиперболическому движению в ньютоновской теории.
Важной особенностью потенциальной кривой в поле Шварцшильда являетсянали-чие максимума. Для частицы с Es > Em3iX101 горизонталь E = Es не встречает потенциальной кривой. Такая частица достигает сферы гравитационного радиуса (г = 1 в наших единицах) и не уходит больше в бесконечность. Происходит гравитационный захват частицы. Об этой важной особенности релятивистской теории подробнее сказано дальше.
Отметим еще следующее любопытное обстоятельство. Если частица имеет энергию лишь немного меньше Emax, то вблизи точки поворота график правой части в (3.6.1а) подходит к нулю со сколь угодно малым наклоном, т. е. при изменении г на малую величину dr частица успевает описать сколь угодно большой угол ф, а значит, вблизи rmin она может сделать много оборотов, прежде чем снова уйдет на бесконечность. В этом случае вблизи rmin орбита совсем не похожа на ньютоновскую гиперболу. При E = = ^max траектория будет навиваться на окружность г = r#max.
§ 7. Круговые орбиты
Если точка находится в экстремуме кривой E (г, %), то это означает, что тождественно dr = 0 и частица движется по кругу с г = const. Очевидно, что круговое движение в минимуме E устойчиво: при малом возмущении частица, получив малые изменения E и будет совершать финитное движение (рис. И), соответствующее E = i?min -J- ЬЕг и новой кривой поворота E = E (г, аг -J- 6а2). Новая траектория мало отличается от прежней окружности.
Движение по окружности Гвтах в максимуме кривой E неустойчиво; теперь малое возмущение заставит частицу уйти в бесконеч-
ki ^
Рис. -10. Потенциальная кривая радиальной состайляющей движения в ОТО при фиксированном моменте CL1. E1 < 1 — горизонталь финитного движения;*, 1 < E2 < Emax — горизонталь гиперболического движения; Eз>JEmax—частица приближается к гравитационному радиусу и не уходит в бесконечность. КРУГОВЫЕ ОРБИТЫ
125
¦
oe2
VX А г
Рис. 11. Движение по круговой орбите в минимуме потенциальной кривой устойчиво, в максимуме — неустойчиво. 1 — потенциальная кривая E = E (г, CL1 + баї); 2 — потенциальная кривая E-E (г, аг -J- б а 2). На рисунке изображен случай, когда баї > 0, 6а2 < 0.
ность либо упасть к гравитационному радиусу. Мы видели, что в ньютоновской теории потенциальная кривая при любом а имеет минимум. Следовательно, в ньютоновской теории для любого а существует устойчивая круговая орбита. Чем меньше а, тем ближе орбита расположена к центру. Когда a ->- 0, 0. В эйнштейновской теории это не так: существует минимальный радиус круговой орбиты, на которой движение уже перестает быть устойчивым, и соответственно минимальна энергия кругового движения. На это обстоятельство впервые обратил внимание Хаджихара (1931) и позже Каплан (1949а). Чтобы убедиться в сказанном, достаточно построить графики E = E (г, а) для разных а (рис. 12).
Мы видим, что при а ]/~3 графики не имеют экстремумов. При а ]/3 каждая кривая имеет два экстремума — минимум и
максимум (на рис. 12 отмечены вертикальными черточками). Минимумы соответствуют устойчивым орбитам и имеют 3, и соответственно
Координаты максимумов при а, возрастающем от Y3 до оо, монотонно уменьшаются от г = 3 до г = 3/2, а энергия Emsix увеличивается OT і?тах
Y 8/9 =
= 0,943 ДО Emax = оо.
Таким образом, критическая круговая орбита, на которой движение перестает быть устойчивым, имеет г = 3. Скорость
е/т* V
0,943 0,9
_ д
\a=Y6
2 \ В 9 7k. X?-1- Г/Гд
- / / ^
Рис. 12. Потенциальные кривые для разных моментов а. Цифры около кривых обозначают момент а, выраженный в единицах Tncrf,.
движении на ней г;Круг
= с! 2,
соответствующая минимальная энергия Якрит = 0,943 тс2. Напомним, что для далекого наблюдателя все процессы в гра-
витационном поле протекают с замедлением в
Ylto = V-
і- 126
СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ "ҐЯГОЇЕНЙЯ [ГЛ 3
раз (см. § 2 и 3). Этот наблюдатель будет видеть движение частицы на критической круговой орбите с периодом
