Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = gAA (іdxAf + gBB (іdxB)2 - (xA)2 (dQ2 + sin2 fofcp2), (3.1.11a)
коэффициент перед квадратом дифференциала которой входит со знаком (+). Доказательством этого служит, очевидно, переход к локально лоренцевой системе отсчета.
Если X1 окажется имеющим характер времени, то логично переобозначить координаты: х1 назвать х°, а х° назвать х1 с тем, чтобы временная координата всегда обозначалась х°. Тогда при временном характере квадрата перед угловой частью в выражении для интервала мы будем иметь
ds2 = ev (dx0)2 - ех (dx1)2 - (х0)2 (de2 + sin2 Bdcp2). (3.1.12)
Итак, преобразованием типа (3.1.10) всегда можно привести интервал для сферического поля тяготения либо к (3.1.11) [(Биркгоф (1923)], либо к (3.1.12) [(Новиков (1961; 1962 Ь)1. Мировые (4-мерные) области, в которых интервал приводится к виду (3.1.11), будем называть iZ-областями, а где интервал приводится к виду (3.1.12), Г-областями. Очевидно, определения R- и Г-областей инвариантны относительно выбора системы координат.
Из определения R- и Г-областей и формул преобразования g^ легко получить условия того, к какой мировой области относится та или иная мировая точка. Если в данной точке в общем выраже-
то точка лежит в iZ-области. При выполнении противоположного неравенства точка лежит в Г-области. Более элегантная форма критерия для R- и Г-областей, не использующая форму записи метрики, была указана К. С. Торном: через данную точку пространства—времени проводим сферу с площадью поверхности А (радиус кривизны (^4/4я)1/г). Вычисляем градиент А, VA в пространстве — времени. Если VA оказывается пространственноподобным, то точка лежит в iZ-области, если VA времениподобный, то точка лежит ві?-области. Если VA светоподобный, то точка не лежит ни в R-, ни в Г-области, а на их границе. Вдали от масс, в слабом поле
*) С одинаковым знаком коэффициенты получиться не могут в силу инвариантности сигнатуры метрики (+---).
нии (3.1.1)
2
(3.1.13) 110
СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ "ҐЯГОЇЕНЙЯ [ГЛ 3
тяготения, где метрика приближается к своему асимптотическому виду при X1 ->- оо (3.1.8), условие (3.1.13), разумеется, всегда выполнено и мы находимся в обычных і?-областях. Однако при чрезвычайно сильной концентрации масс до размеров меньше критических *) оказывается, что в сильном поле тяготения х1 уже не имеет смысла пространственной координаты, мы попадаем в T-область, и метрику нельзя записать в виде (3.1.11)**). Об этом подробнее говорится в § 13 гл. 3. Сейчас будем предполагать, что метрика приводится к виду (3.1.11) ***), и мы находимся в ^-области. Сначала мы рассмотрим поле тяготения в вакууме.
§ 2. Поле тяготения Шварцшильда
Уже в самой простой задаче — в рассмотрении движения пробных частиц и света в сильном поле тяготения в вакууме, создаваемом сферическим телом, содержатся те основные особенности, которые определяют строение плотных звезд (белые карлики, нейтронные звезды), массивных звезд, а также свойства катастрофического сжатия звезды — релятивистского коллапса.
Решение уравнений Эйнштейна (3.1.2) — (3.1.5) с метрикой (3.1.11) для такого поля в вакууме [(решение Шварцшильда (1916)] определяет геометрические свойства пространства и темп течения времени вблизи тела, создающего поле. Оказывается, что это поле всегда постоянно (даже если вещество центрального тела совершает радиальные движения, оставаясь сферически-симметричным) и зависит только от полной энергии тела E (включая массу покоя составляющих тело частиц).
Выражение для 4-мерного интервала, приведенного к виду (3.1.11), в поле Шварцшильда имеет вид
ds2 = ~ (1 _ г2 (d02 + sib2 0^2) + j1 _ ^ c4t^ р 2л)
где мы обозначили х1 = г, х° = ct9 a M = const. Постоянная M определяет силу гравитационного поля. Вдали от тела поле слабо и описывается ньютоновской теорией, причем M — масса, определяющая это ньютоновское поле ф ->- — GM/r. В выражении для ds2 содержатся все сведения о гравитационном поле. Напомним
*) Этот критический размер носит название гравитационного радиуса и зависит от массы: rg = IGMtc2; см. далее § 2 гл. 3.
**) Мы хотим уже здесь подчеркнуть, во избежание недоразумений, что речь не идет о каком-то «превращении» пространства в о время и наоборот, при переходе из і?-области в Г-область. В каждой мировой точке временные и пространственные направления инвариантны. Речь идет о важном различии свойств систем отсчета вблизи сильно сконцентрированных масс и вдали, где поде слабо. Об этом подробно говорится далее в §§ 12, 13, 14 этой главы.
^*) Преобразование (3.1.10) предполагает, кроме того, что (і монотонна по^1. Оказывается, что если х1 имеет смысл пространственной координаты, то Jii всегда монотонна по ^1. §2]
ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ШВАРЦШИЛЬДА
111
(см. § 4 гл. 1), как пользоваться этим выражением для физических выводов. Первые три слагаемые в сумме дают взятый с обратным знаком квадрат расстояния между бесконечно близкими точками dl2, записанный в сферической системе координат. Неподвижный наблюдатель, находящийся вблизи массивного тела, может измерять расстояния в малой окрестности обычным способом, вводя декартовы координаты. В этих координатах dl2 = dx2 + dy2 + + dz2. Если мы выберем dz = rdo, a dy = г sin0 dcp, то вне поля тяготения в евклидовом пространстве dx = dr. Вблизи массивного тела, в поле Шварцшильда, как видно из (3.2.1),
