Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Однако, как подчеркивает Торн, приведенные выше аргументы не справедливы для тел, у которых самогравитация существенна.
В этом случае ^ TdV и \ edV отличаются гна величину поряд-
ка гравитационной энергии связи. Важное следствие этого факта состоит в том, что в скалярной теории тяготения отношение гравитационной массы к инертной массе звезды и планеты отличается 106 НЕИЗБЕЖНОСТЬ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 2
от единицы на величину порядка отношения
гравитационная энергия связи масса покоя
Это означает, что будучи помещенными во внешнее гравитационное поле, различные звезды и планеты будут падать с разными ускорениями. Например, в теории Бранса — Дикке Солнце должно падать с ускорением в IO"6 раз меньшим, чем ускорение малого пробного тела; ускорение Юпитера должно быть меньше в IO"8 раз и Земли в ~10~9. Эти факты и их следствие для проверок гравитационных теорий в Солнечной системе указаны и обсуждались в ряде статей Нордведта [(1968а, Ь; 1970); см. также Дикке (1969)]. Впрочем, неясно, нельзя ли построить такую нелинейную модификацию теории, где этих эффектов не было бы.
Вернемся к проверке с помощью световых лучей. В настоящее время можно утверждать, что вклад скалярной теории меньше 10% вклада ОТО в гравитацию [Шапиро (1971)]. ГЛАВА З
СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
§ 1. Введение
Многие небесные тела, а также некоторые системы небесных тел имеют с хорошей точностью сферически-симметричное распределение масс. Таковы медленно вращающиеся звезды, планеты, шаровые звездные скопления, эллиптические галактики типа EO, сферические скопления галактик. Гравитационное поле таких тел, очевидно, также сферически-симметрично. Небесные тела и системы, если они достаточно слабо вращаются, на релятивистских стадиях эволюции также будут сферически-симметричными.
Мы подробно рассмотрим сферическое поле тяготения, имея в виду, с одной стороны, непосредственное приложение теорри к изучению небесных тел, а также к космологической проблеме, и, с другой стороны, то, что в этом случае многие принципиальные вопросы могут быть выяснены до конца, так как симметрия упрощает уравнения Эйнштейна. Отклонения от сферической симметрии будут рассмотрены далее в гл. 4.
Выражение для интервала в сферически-симметричном поле может быть записано в следующем виде:
ds2 = (*0' xW2 - ** *l> (dx1)2 - ^ (*0' (de2 + sin2 Єсйр2); (3.1.1)
здесь X0 — временная координата, а? — радиальная пространственная координата, 0 и ср — угловые координаты на сфере; для удобства вычислений записано g00 = gn = — g22 = — ev. Смешанные компоненты goa всегда могут быть положены равными нулю, ибо вращение в силу сферической симметрии отсутствует (см. § 6 гл. 1.). Функции V, X9 Ji могут зависеть от временной и радиальной координаты.
Уравнения Эйнштейна записываются для метрики (3.1.1) в таком виде:
-- (J? + |XV) - е- (jl - IlIv + - е-1\ (3.1.2) 108 СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ "ҐЯГОЇЕНЙЯ [ГЛ 3
_ Г2 = (2v„ + v„ + 2(а„ + ^2 _ _ ^ +
+ \ er-» (XV + (XV - Ці - 2?, - І2 - 2jx - Ii»), (3.1.3)
8JtG гро_ X Л," і ^ ..'2
^ Го = ^ ^ + ? ^ _ JiA.) _ 1 ^v ?. . + ^ _ ^ (3>1>4)
8я? 1
с4
T10 = 2|х' - J44' + jiji' + v'|i). (3.1.5)
Очевидно, Т\ = Гд. Остальные уравнения обращаются в тождества. Здесь и ниже точка означает дифференцирование по я0, штрих — по xі.
В сопутствующей системе отсчета Tl = 0. Законы сохранения (1.8.5) для тензора Tih (1.8.2) в этом случае принимают следующий вид:
3^ + 2^ = —JTfTp » (3.1.6)
^ = -TTP- <зл-7)
Вернемся теперь к общей несопутствующей системе отсчета. Вдали от сферической массы в пустоте метрика евклидова и выражение для интервала имеет в сферических координатах вид
^21 со = (dx0)2 — (dx1)2 - (я1)2 (de2 + sin2 Odcp2). (3.1.8)
Преобразования координат х° и х1
х° = х° (х\ X1), X1 = X1 (х\ Xі) (3.1.9)
сохраняют сферическую симметрию. Воспользовавшись преобразованием типа (3.1.9), положим (старые координаты с тильдой наверху)
xi = (3.1.10)
а затем х° = х° (я0, х1) выберем так (это всегда возможно), чтобы в метрике не появились члены g10. Тогда коэффициент При угловой части будет (я1)2, т. е. такой же, как в (3.1.8) для метрики на бесконечности, и интервал запишется в виде
ds2 = е> (dx0)2 - е* (dx1)2 - (х1)2 (de2 + sin2 Odcp2). (3.1.11)
Разумеется, преобразование (3.1.10), приводящее интервал к виду (d.i. 11), можно сделать не всегда. Действительно, после преобразования (3.1.10) и вычисления коэффициентов по формулам (3,1.9) может оказаться, что в выражении для интервала (3.1.11) коэффициент перед (dx0)2 окажется со знаком минус, а перед (dx1)2 § 1]
ВВЕДЕНИЕ
109
со знаком плюс *). Если так случится, то это значит, что х1 не имеет больше характера пространственной координаты, а имеет характер временной координаты; это означает, что при постоянстве всех других координат (,х°, 0, ф) теперь величина Ygxl dx1 измеряет собственное время частиц, неподвижных в данной системе отсчета. Иначе говоря, характер времени имеет та из координат в выражении
