Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
За один оборот на критической окружностд высвечивается энергия — 0,1 In2C2IM. Тело переходит на спиральную орбиту, падая к сфере Шварцшильда. На этой орбите совершается еще — (Mlmyfa оборотов. Энергия, высвечиваемая за один оборот, всегда того же порядка, что и при г = 3rg. Таким образом, после достижения критической орбиты тело сваливается к сфере гравитационного радиуса, практически ничего не добавляя к уже высвеченной до этого энергии, если т!М 1.
Если т!М ~ 1, то число оборотов после достижения критической орбиты порядка единицы, а излученная энергия того же порядка, что и до достижения этой орбиты. Хотя здесь сила лучистого трения уже не является малой поправкой к действию внешнего поля, но из соображений размерности, симметрии и соответствия с
(3.11.1) 134
СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ "ҐЯГОЇЕНЙЯ [ГЛ 3
формулой для т можно сразу написать приближенно форму-
лу для высвеченной энергии, справедливую и при m/M ~ 1:
ДЕкруг = а^, (3.11.2)
где а — порядка 0,06.
Приведем еще аналогичную формулу для общего количества высвеченной энергии при падении масс друг на друга по прямой линии, справедливую при любом m/M:
^ = ^ WTW' (3-11-3)
Мы полагаем ? = 0,02. Подчеркнем, что точного расчета излучения при т\М ^ 1 нет. При наличии заметных собственных моментов у сталкивающихся тел формулы иные (см. § 3 гл. 4). Точный расчет — дело будущего. Количество высвеченной энергии может составлять заметную долю тс2.
§ 12. It- и Т-области в пространстве — времени Шварцшильда
В § 2 гл. 3 мы видели, что радиус г = rg = 2 Gmlc2 имеет критическое значение. Сила тяготения F при г = rg обращается в бесконечность. Очевидно, что никакое статическое тело не может иметь размер меньше rg. Но что будет с нестатически сжимающимся телом, например, со сферическим облаком пылинок, которое сжимается под действием собственного тяготения и достигает rg? Ц?*-
B процессе сжатия масса тела M не меняется. Поэтому пылинки на поверхности шара просто падают в поле Шварцшильда с массой M. Как мы видели в § 5 гл. 3, время падения до rg конечно. Шар за конечное собственное время сожмется до rg и будет сжиматься дальше. Только выбор недеформирующейся системы отсчета с ?22 = — е* = — (я1)2 не позволяет с ее помощью исследовать область внутри сферы Шварцшильда, ибо в этой области недефор-мирующихся систем отсчета не существует [Финкелыптейн (1958); см. также Новиков (1961; 1962b, с)]. На сфере Шварцшильда никаких особенностей в 4-мерном пространстве — времени (так называемых истинных особенностей) не существует. В частности, простейший отличный здесь от нуля инвариант, характеризующий искривленность 4-мерного континуума
12г2
п_ о ЫШт хс" g
и — -nHilmr*- — гв у
не имеет особенности.
Проследим за сжимающимся шаром, когда его поверхность уходит внутрь сферы Шварцшильда. Для изучения поля вне шара в ракууме удобцее всего ввестц систему отрчета из свободно падаад* к- и Г-ОБЛАСТЙ
І35
щих пробных частиц, имеющих на пространственной бесконечности нулевую скорость [система отсчета Леметра (1933); см. также Ю. А. Рылов (1961)]. Движение таких частиц рассмотрено в § 5 гл. 3. В отличие от системы отсчета Шварцшильда, эта система охватывает и область пространства — времени как снаружи сферы Шварцшильда, так и внутри нее.
Уравнение (3.5.6) связывает собственное время падающей частицы и шварцшильдову координату г. Адцитивная постоянная в (3.5.6) есть функция только лагранжевой координаты частицы R. Выбор R произволен. Выберем R так, чтобы (3.5.6) записывалось в виде
t = (Vs) (rg/c) [(3A) (Rfrg) - (г/гё)Ц.
Тогда квадрат интервала в этой системе записывается в виде
ds2 = c2dx2 - ^f2 v, - [4 (R - СХ)]\ (dQ2 + sin2 Є Ap2).
(3.12.1а)
Момент пересечения падающей частицей сферы Шварцшильда определяется выражением
I-(Я-et) = ?-,. (3.12.2)
Внутри сжимающегося шара в веществе решение (3.12.1) уже неприменимо и должно быть «сшито» с внутренним решением [Оп-пенгеймер, Снайдер (1939); То л мен, 1934а, Ь). Для однородного сжимающегося пылевого шара это решение записывается в виде (подробности см. далее в § 13 гл. 3)
4U 2^3
{fe2 = c2drs_|J.(Ao_(n.)j [dA2+A2(d02+sin20d92)], (3.12.1b)
где R0 — лагранжев радиус границы шара. Заметим, что gn непрерывен на поверхности шара; он описывает непрерывное увеличение с увеличением R радиусов сфер с центром в центре шара. Однако ^11 разрывен на поверхности шара, где испытывает разрыв плотность материи. Эта разрывность связана с различной зависимостью масштаба от времени внутри и вне шара.
Вернемся к свойствам пространства — времени в вакууме внутри сферы Шварцшильда.
G помощью условия для определения R- и jT-областей (см. § 1 гл. 3), находим, что вне сферы Шварцшильда, т. е. при
-|(Я_ст)>г,
(3.12.3) 136 ЄФерически-симзуіетричное поле тяготения tгл. S
лежит A-область. Внутри сферы Шварцшильда, при неравенстве, противопоположном (3.12.3), лежит Г-область.
Пространство — время в координатах R1 % Леметра изображено на рис. 16; угловые координаты не интересны в силу симметрии. Граница шара R0 = const лежит далеко слева и не изображена на рисунке. Каждая частица пересекает г = rg и за конечное время достигает истинной особенности пространства —
