Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
<т = Ди(1-гаи)1/2 = Ди(і-^), (1.33
то
'du \ 1
5J = i('-"2)"2- ел
Поскольку rgu - малая величина, то
Ди = 0-(1 - rgu)-1/2 « <х (l + r-f) « «х (l + . (1.35)
Тогда
Adu = da (1+?- (1-36) Из уравнения (1.34) получаем, что
JО Jo vi - <т2
= aresin И-J(I-^T2)V24-J. (1.37)
Согласно уравнению (1.34), максимальному значению Um (апоцентру) соответствует значение а = 1. Угол, соответствующий апоцентру определяется, исходя из значения интеграла:
*. = §+?• с-38'
Следовательно отклонение луча света равно удвоенной разности 0 ^ 2[фт — 7г/2), т.е. в = 2Гд/А. Подставляя значение а = 1 в соотношение (1.36), получим значение ит, соответствующее периастру,
- = s(,+a)- t1'391 j 4 Точечная гравитационная линза 27
5регая малым членом в последнем соотношении, получим фор-лу Эйнштейна для угла отклонения луча света в рамках ОТО
A GM
0 яа 2rgum = —-. (1.40)
С Vm
Следует напомнить, что последнее соотношение получено в предположении, ЧТО rg «; А.
1.4. Точечная гравитационная линза
Рассмотрим основные понятия теории гравитационных линз на примере точечной гравитационной линзы. Будем считать, что свет движется не по кривой, похожей на гиперболу, а по асимптотам этой кривой. Ясно также, что идеальная гравитационная линза является ахроматической, но в реальной ситуации разные части источника могут иметь различный цвет, и, тем самым, могут возникнуть различные эффекты, связанные с цветом. Итак, рассмотрим идеальную точечную гравитационную линзу. Пусть расстояние между источником и наблюдателем - Di, расстояние между гравитационной линзой и наблюдателем - Dd , расстояние между гравитационной линзой и источником - Dd,. Проведем через точку, в которой находится гравитационная линза, плоскость (плоскость линзы), перпендикулярную прямой, соединяющей линзу и наблюдателя. Аналогично через источник проведем плоскость, параллельную плоскости линзы, плоскость источника. Тогда уравнение гравитационной линзы имеет следующий вид (в предположении, что угол отклонения мал) (Шнайдер и Др. (1992)):
T1= D,t/Dd + Dd,e(t), (1.41)
гДе векторы rj, ? определяют координаты в плоскости источника и в ПЛОСКОСТИ линзы соответственно, а угол определяется из соотношения
0(0 = 4 GMtfc2Z2. (1.42)
Приравнивая к нулю правую часть уравнения (142), получим усло-Вия, когда источник, линза, и наблюдатель находятся на одной пря-Мои (rI= 0). Соответствующее значение ?о = у/AGMDdDd,/(с2Ds) называется радиусом Эйнштейна-Хвольсона. Можно вычислить так-Угол Эйнштейна-Хвольсона в0 = ?0/Dd- Вычислим значение угла о для типичной ситуации, когда гравитационной линзой и источни-являются звезды, и когда источником является квазар, а грави- 28
Глава, 1. Введен
тационной линзой галактика. Будем считать, что Ds Dd, тогда
90 1? 2" X 10
-з
GM
Mq J \ Dd J
-1/2
Если гравитационная линза - одна из ближайших галактик с массой M = IO12M0, удаленная на расстояние Dd = 100 кпк, то в0 as 200" Если линза находится на расстоянии 1 кпк от наблюдателя (возмог но, в нашей Галактике) и имеет массу порядка солнечной M = Mq то 0о 1? 2" X Ю-3.
Запишем уравнение линзы, отнормировав угловые переменные на угол Эйнштейна-Хвольсона, а именно, использовав переменные
я =?/?), V = DsT1HioDd), a = QDdsDd/(Ds$0), (1-43)
тогда уравнение гравитационной линзы имеет вид:
у = х — а(х) или у = х — х/х2. (1-44)
Решая это уравнение относительно х, получаем
х± = у[ 1/2 ± v/1/4+1/у2]. (1.45)
Отсюда без труда может быть вычислено расстояние между изображениями источника:
х+ = у
1 /1 1 2 + V4 + ^
x =у
1 /1 1 ~2 + ViVj
l = x+ + x- = 2yJ± + ±
(1.46)
Рис. 1.2. Точечная гравитационная линза GL находится в начале координат (0,0). Точка S характеризует положение источника, точка О полоЖе" ние наблюдателя.
Нетрудно понять качественно, почему возникает двойное изображение источника при обратно пропорциональной зависимости угл» 4 ду^чная гравитационная линза_29
лонения луча света от прицельного параметра (легко видеть, что оТК , рассуждение остается в силе и в том случае, если угол от-П ие луча света (возможно в среде) есть монотонно убывающая К ция прицельного параметра, такая, что последующие рассужде-оказываются применимыми). Действительно, рассмотрим плос-ость UiOvi, в которой находятся источник, гравитационная линза и аблюдатель. Пусть гравитационная линза находится в начале координат, наблюдатель на оси абсцисс (и і > 0), и положение источника характеризуется значениями координат (ui < 0,vi > 0). Пусть источник испускает лучи во всевозможных направлениях, тогда в любую точку на полупрямой Oui (ui > 0, vi = 0) попадает луч от источника при движении луча в полуплоскости (vi > 0). Это связано с зависимостью угла отклонения от прицельного параметра 0 ~ р-1/2. Аналогично для каждой точки на полупрямой Oui существует такое направление луча, частично проходящего в полуплоскости (vi < 0), попадающего в эту точку. Т.о., если мы имеем точечный источник, а гравитационная линза - материальная точка, то всегда возникает двойное изображение, за исключением вырожденного случая, когда источник, линза и наблюдатель находятся на одной прямой. В реальных ситуациях, в случае, когда источник значительно удален от оси Oui, изображение, соответствующее прохождению луча света частично в полуплоскости (vi < 0), может экранироваться гравитационной линзой (безусловно, в этом случае модель материальной точки для гравитационной линзы является неудовлетворительной).
