Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно видеть, что r2tp - первый интеграл уравнений движениі Действительно,
= 2rrtp + r2tp = 0. (l.ld
Следовательно, получаем известный факт: в случае, если сила, деі ствующая на частицу, зависит лишь от расстояния до некоторой фи< сированной точки, то имеется интеграл движения, называемый инт( гралом площадей, поскольку выражение r2tp определяет удвоенную площадь треугольника, заметаемого движущейся частицей ( в даї ном случае лучом света). Ясно, что эта площадь, с другой сторонь1 равна С = AC ¦ v. Принимаем радиус притягивающего тела равнЫ 1 (или расстояния измеряем в единицах этого радиуса), тогда С =' Отсюда
ф-v/r2. (l.ll 1 2. гЬ^рмулз- Зольднера_23
Подставляя выражение для ф в уравнение (1.9), получим
.. V2 GM ,
= - — - (112)
Нетрудно видеть, что последнее уравнение имеет первый интеграл (интеграл энергии)
^ + = а ,U3)
Г2 Г
Тогда
dt = . dr , ¦ (1.14)
\JD + IGMjr — V2 Ir2
Переходя от переменной t к переменной tp с помощью уравнения (1.11), получим
Ap = , (1.15)
s/[D + 2GM/г] - v2/r2
Перепишем уравнение в виде
dtp = Vdri/[г2у/D+ (GM)2/v2 - (v/r - GM/r)2]. (1.16)
Для интегрирования последнего уравнения сделаем замену переменной Z = v/r - GM/v. Тогда dz = -vdr/r2 и
dtp=----dz -. (1.17)
У y/[D +(GM)2/v2] -z2 1 '
Отсюда
или
tp = arccos . + а (1-18)
\/D + (GM)2/V2 v ;
cos (p-a) = ¦ . (1.19)
V ; y/D+(GM)2/v2 1 '
Переходя вновь к переменной г, получим
cos (V-O) = ^mL=. (1.20)
v г ^Jv2D + (GM)2 к ' 24 Глава. 1. Ввєдещ
Пусть начало отсчета для угла tp выбрано т.о., что tp = 0, г = AC ~ j (т.е. а = 0),
V2 - (GM)r
cos ip=—. v , ' = . (1.2ц
TyJviD+ (GM)2 V jI
Из условия выбора начала отсчета угла ip получаем величину Kotj. станты D, т.к. при tp = 0 имеем aJv2D + (GM)2 = v2 — GM, то
V2 - (GM)r costp- ' (1.22]
r(v2 - GM) '
При этом считаем, что v2 > GM. Перейдем вновь к декартовы« координатам, используя соотношения х — 1—г cos tp, у = г sin Тогда
2 _ vVj-2GM) _ 2 _ ^f(V2j-GM) (123)
У - (GM)2 (i } (GM)2 (GM)2' ( '
Или
^ W-2GM) — GM (GM)2 X- (L24,
Ясно, что последнее уравнение определяет коническое сечение, при чем если
V2 > 2GM, (1.251
то траектория - гипербола, если v2 = 2GM, то траектория - па рабола, если v2 < 2GM, то траектория - эллипс, если v2 = GM, к траектория - окружность. Поскольку (как утверждал Зольднер, хот и знал о работе Лапласа, где рассматривалось гравитационное пол> столь сильное, что неравенство (1.25) не выполнено) не существуе такого небесного тела, чтобы неравенство (1.25) было не выполни но, то свет движется по гиперболе. Поскольку уравнение гипербол! может быть записано в следующей форме:
2 262 Ь2 2 „ Ой
У2 = —Х+—Х2, (1.26
a a2
где a - большая полуось, b - малая полуось, тогда угол отклонен!1 определяется из соотношения 3 форму3^L
Эйнштейна.
25
или
GM
tg uj =
vy/v2 - 2GM
(1.28)
Поскольку
мал,
и2 2GM, то угол отклонения луча света достаточно
GM
(1.29)
Полное отклонение луча света равно 9 = 2ш, поскольку uj - угол между асимптотой гиперболы и осью у, и, вспоминая, что радиус притягивающего тела был выбран равным 1, получаем формулу (1.1). Вычислим угол отклонения луча света вблизи поверхности Солнца. В этом случае Rq = 6.96 х IO10 см, M0 = 1.989 х IO33 г, G = 6.673 X IO-8 см 3/( г с 2), с = 2.997 х IO10 см/с и угол отклонения равен 0.875". Зольднером было получено значение 0.84". Расхождение в результате связано с уточнением значений констант, используемых для вычислений по формуле Зольднера.
1.3. Формула Эйнштейна
Выражение для угла отклонения луча света в рамках ОТО впервые было получено А.Эйнштейном в 1915 г. (русский перевод Эйнштейн (19656)), а затем Эйнштейн (1965в) рассмотрел этот вопрос немного подробнее. В настоящее время вывод выражения для угла отклонения луча света в рамках ОТО приведен в большинстве книг по теории гравитации (см. например, Ландау и Лифшиц (1988а); Ути-яма (1979); Мизнер и др. (1977); Лайтман и др. (1979); Вейнберг (1975); Рашевский (1967); Меллер (1975)). Несмотря на то, что в некоторых монографиях дан достаточно простой вывод угла отклонения, мы приведем вывод Меллера (1975), поскольку он является одним из самых коротких и не использует никаких дополнительных предположений. Пусть прицельный параметр равен А. Тогда уравнение, описывающее изменение координаты г в зависимости от угла Ф (Ландау и Лифшиц (19886)),
(1.30)
Где г,
где rQ = 2GM/c2. Сделаем замену u= 1 /г. Тогда, пренебрегая малой величиной г „и, получаем
'дії, получаем
Ф = / ДсЦ1 - (Ди)2]-1/2 = arcsin(Au). Jo
(1.31) 26 Глава 1. ВведенUfl
Тогда и = sin^/Д или г = Д/sin^. Т.о., приближенное решед^ уравнения (1.30) имеет вид прямой, удаленной от начала коордида, на расстояние Д, причем движущаяся точка находится на минима% ном расстоянии при ф = іг/2и уходит на бесконечность при ф —> „ Уравнение (1.30) может быть записано в виде
du 1ф
1/2
-u2(l-rgu)
1 .2
(1.321
.A2
Если ввести новую переменную
