Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
11.6.2. ВЕРОЯТНОСТЬ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ
247
ваемом мю-пространством ((!-пространство). По осям координат (!-пространства откладывают декартовы координаты х, у, г частиц системы и соответствующие проекции Px, Pv, Pz их импульсов. Состояние системы характеризуется распределением в (.!-пространстве изобразительных точек всех частиц системы.
5°. В статистической физике используют эргодиче-скую гипотезу. Согласно этой гипотезе предполагается, что в термодинамически равновесной системе средние по времени значения физических величин, характеризующих систему равны их средним статистическим значениям, т. е. средним статистическим по равномерному распределению фазовых точек в тонком слое энергии вблизи поверхности постоянной энергии, рассчитанным в один и тот же произвольный момент времени. Термодинамическую систему, удовлетворяющую эрго-дической гипотезе, называют эргодической (эргоидной) системой.
2. ВЕРОЯТНОСТЬ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ.
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
1°. Различные состояния системы могут осуществляться с той или иной вероятностью. Вероятность 1-го состояния Coi определяется как предел отношения времени I1, в течение которого система находится в данном состоянии, к полному времени T наблюдения над системой при неограниченном увеличении Т:
со, = Iim — . г-»<=° т
Если некоторая физическая величина M является однозначной функцией состояния и принимает значение Mi, то это означает, что система находится в і-м состоянии.
2е. Вероятность і-го состояния системы совпадает с вероятностью того, что физическая величина M принимает значение M1. Если N есть полное число измерений величины М, a Ni есть число измерений, в результате которых найдено, что величина M имеет значение Mj, то
,. Ni
Wi = Iim —:.
Л7 V га N
248 11.6. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
3°. При непрерывном изменении состояния системы необходимо говорить не о значении Mi, а об интервале значений этой величины. Вероятность dco(M) того, что величина M имеет значение, лежащее в интервале от M до M + dM7 равна
da (M)= lim
где dtM — время, в течение которого система находится в состояних, соответствующих значениям М, лежащим в интервале от M до M + йМ; величины dtM и do(M) пропорциональны интервалу dМ:
dш(М) = р(M) dM,
где р(М) — плотность вероятности, или функция распределения вероятностей.
4°. Условие нормировки вероятностей состояния: при непрерывном изменении состояний
Г dW(M) - f P(M) dM *= 1;
M Af
при дискретных состояниях
Z^=1-
і
5°. Статистическое среднее значение величины M обозначается M или (M) и определяется следующим образом:
(M) = ^MiWi,
2
если величина M изменяется дискретно. Суммирование производится по всем i-м состояниям системы. В случае непрерывного изменения величины M
(M) =JM dw(M) = J Mp(M) dM,
M M
где интегрирование производится по всем возможным состояниям системы.
Il Є 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА
249
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА
I0. Mикроканоническим распределением Гиббса называют распределение вероятностей различных состояний изолированной макроскопической системы, т. е. системы, не взаимодействующей с окружающими телами, имеющей постоянные энергию Е, объем V и число частиц N, а также макроскопически неподвижной системы. Различным состояниям классической равновесной системы с s степенями свободы соответствует совокупность точек на гиперповерхности E = const в 2б-мерном Г-пространстве, уравнение которой
H(q,p)-E = 0.
Здесь H(q, р) — функция Гамильтона рассматриваемой системы. Состояния такой идеализированной системы являются вырожденными: каждому значению энергии E системы соответствует несколько разных состояний, число которых называют кратностью вырождения.
2°. В действительности полностью изолировать систему нельзя. Поэтому следует говорить о пребывании системы в различных микросостояниях с общей энергией в пределах от E до E + 6-Е, где SE < E (в пределе при полной изоляции SE = 0). Этим состояниям системы соответствуют изобразительные точки, находящиеся в Г-пространстве в пределах малого объема 6Г, заключенного между двумя гиперповерхностями H(q, р)' = E и H(q, р) = E + SE.
В основе микроканонического распределения Гиббса лежит предположение о том, что все состояния замкнутой системы в узкой области энергий 5E вблизи E (SE <SC Е) равновероятны (независимо от конкретных комбинаций соответствующих значений q и р частиц), а вне этой области энергий вероятность состояний равна нулю:
_ J tp(E, SE, V, N) при E < H(q, р) < E + 6Е,
~ л 0 при H(q, р) < E и Щд, р) > E + 6Е.
Здесь f(q, р) = — объемная плотность вероят-
аГ
ности состояния, a dr = dqdp — элементарный объем
I ’-пространства.
250 11.6. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
3°. В пределе при 6? —» 0 микроканоническое распределение Гиббса записывают в форме
f(q,p)=A(E)$iH(q,p)- Е].
Здесь 6\Н - Е] — дельта-функция Дирака, отличная от 0 только при H = E, а постоянный коэффициент A(E), зависящий от энергии E системы (объем системы V и число частиц N фиксированы), определяется из условия нормировки вероятностей:
