Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
и
где т = Nm0 — масса газа-.
Другой вид основного уравнения:
W,
232
11.5. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
2. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯМ
1°. Закон распределения молекул по скоростям Максвелла (распределение Максвелла) описывает стационарное распределение частиц (молекул) макроскопической системы, находящейся в термодинамическом равновесии, в отсутствии внешних полей при условии, что движение частиц подчиняется законам классической механики. Максвеловское распределение не зависит от взаимодействия между частицами и справедливо не только для газов, но и для жидкостей, если для них возможно классическое описание.
2°. Употребляются следующие формы закона распределения Максвелла. Распределение молекул по модулям скоростей:
Anu = п {Ґ2 ехр ¦ 471 и2 Au.
и I 2лkT J I ZkTJ
I 2 2 2
Здесь и — модуль скорости молекулы, U= 4их + иу + иг ’ т0 — масса молекулы, k — постоянная Больцмана, T — термодинамическая температура, Anu — концентрация молекул (из общей концентрации п), скорости которых заключены в пределах от и до и + du.
Распределение Максвелла по проекциям скоростей:
An = п{ У'2 exp (-r^- I AuxAuAuz,
V 2UkTJ I 2kT J х у 2
где их, иу, Uz — проекции скорости молекулы на оси координат, может быть представлено в виде An = nf(ux) f(uy) f(uz) AuxAuyAuz.
Здесь
( тп 411,2
^ ~{шт) ехр
2
IH0Ui
ZhT
(І = X, у, Z)
— функция распределения по проекциям скоростей.
Поскольку все направления движения молекул в пространстве равновероятны, распределение молекул ПО скоростям изотропно И f(Uj) имеет одинаковый вид ДЛЯ І = X, у, Z.
11.5.2. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯМ 233
Другая форма закона распределения Максвелла по модулям скоростей:
dn = п 4 ехр[—f -Y ]и2 du,
Ли3в W
где uB ¦— наиболее вероятная скорость.
На рис. II.5.1 изображена кривая закона распределения молекул по скоростям. Доля молекул газа dп со скоростями в интервале от и до и + du пропорциональна площади dS заштрихованной криволинейной трапеции:
_ ( ив dn du _ dn
I п du J ив п ’
= Au) du,
где f(u) = 4я^ J exp^-^l^ j и2 — функция рас-пределения молекул по скоростям, указывающая долю молекул — со скоростями, лежащими в единичном
Tl
интервале du около значения скорости и.
Условие нормировки функции распределения:
J f(u) du = 1,
так как скорости всех молекул заключены в пределах от 0 до
Ub dn п du
Рис. П.5.1
234
11.5. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
С увеличением температуры газа максимум кривой распределения смещается в сторону больших скоростей, а его модуль уменьшается. На рис. II.5.2 изображены кривые распределения молекул по скоростям при трех температурах T1 < T2 <.7’з-3°. Различают следующие скорости, характеризующие газ при данной температуре:
а) наиболее вероятная скорость ив, которая соответствует максимуму функции f(u):
= /2RT = \2kT.
V ГП0
б) средняя скорость (и) движения молекул
о
в) средняя квадратичная скорость икв движения молекул
uKB = J u2f(u)du, о
где В — удельная газовая постоянная, T — термодинамическая температура, ц — молярная масса, R — молярная газовая постоянная, k — постоянная Больцмана, т0 — масса молекулы газа.
d п t du
Рис. 11.5.2
11.5.2. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯМ 235
4°. Распределение молекул по энергиям:
Clrcw,= Щ (kT)~z/2 e~W«/(kI"> dWR,
Jn
Ul0U2
где Wk = —-— — энергия поступательного движения
т» «-» , d
молекулы одноатомного газа. В этой формуле —— =
п
= f(WK) d!TK; f(WK) — функция распределения молекул по энергиям.
Примеры.
1. Средняя кинетическая энергия молекул одноатомного идеального газа:
W = J AWjdWic =
О
9 г -WK/(kT) ,----- о
= ---- f WKe JK dWK = I kT.
Jn(kT)ZfZ Jk 2
О
Термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа. Это справедливо в области не слишком низких температур, далеких от температуры вырождения.
2. Число молекул, имеющих энергии, большие заданной энергии W0k "3> kT:
'Чл= I eWJ(kT) Jwk dwK~
~ 2n^ (¦ /<-кГ> = p-W0KЦкТ)
Jn(kT)3 J К JnkT
5°. Распределение Максвелла по относительным скоростям молекул.
Относительное движение двух молекул может быть оцисано как движение одной частицы с приведенной
236
11.5. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
0 /1Ь і TtX о
массой т = —-—— . Для однородного газа Tnl — т2 = гп0 ^ тт + т
и Tnuv = . Распределение молекул по относительным
скоростям:
I г * ^
/W, Ч 2 ™ Ч 2 1
4 TI U Cl Li ,
лфи OXH'
/' mo V
йп^=п[шг) ехр
AkT
/
где Uoth — относительная скорость двух молекул;
dnU
= Kuотн) dlW
f(uOTH) — функция распределения молекул по относительным скоростям, равная
f(u ) = 4Jif - m° ¦ I exp °™' 14JikTj v
mOuIm
2
u.„
AkT
П p и M e p. Средняя относительная скорость молекул:
(“отн) = J uOTH /Ктн) duOTH = '/2 J— = Jz (и),
о
где (и) — средняя скорость молекул.
3. СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ
1°. Столкновение двух частиц характеризуется эффективным поперечным сечением соударения а. В случае соударения молекул, имеющих диаметр d, (модель твердых сфер) эффективное газокинетическое поперечное сечение равно площади круга с радиусом d (эффективный диаметр молекулы)-.
