Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
А(ЕГ1 = J 8[H(q, р) ?]dr, г
где интегрирование проводится по области Г-пространства, соответствующей всем возможным состояниям системы.
Величина AlEy1AE имеет смысл объема тонкой области Г-пространства, заключенной между двумя гиперповерхностями H(q, р) = E и H(q, р) = E + AE.
4°. Микроканоническое распределение Гиббса позволяет, не решая уравнений движения, находить средние значения всех физических величин F(q. р), которые как раз и характеризуют равновесное состояние замкнутой системы:
(F) =A(E) f F(q, p)8[H(q, р) - EJ dr. г
Микроканоническое распределение Гиббса лежит в основе канонического распределения Гиббса.
5°. Каноническим распределением Гиббса называют распределение вероятностей различных возможных состояний некоторой квазизамкнутой подсистемы, т. е. некоторой части замкнутой макроскопической системы. Подсистема называется квазизамкнутой, если ее собственная энергия в среднем велика по сравнению с энергией ее взаимодействия с остальными частями замкнутой системы (называемыми термостатом).
Например, каждая молекула идеального газа при не слишком низких температурах является квазизамкнутой подсистемой. Ее собственная кинетическая энергия в среднем намного превышает среднюю по времени
11.6.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА
251
между двумя столкновениями энергию ее взаимодеиет-вия с другими молекулами газа (термостатом).
6°. Взаимодействие подсистемы с термостатом приводит к изменению ее состояний: она может переходить как в состояния с первоначальной энергией, так и в стоствояния с другими значениями энергии. При последних переходах подсистема обменивается энергией с термостатом, увеличивая или уменьшая свою энергию.
7°. Вероятность состояния подсистемы зависит только от ее энергии. Согласно квантовому каноническому распределению Гиббса
expf-^WE,)
Ze4_^r(Ei)
і
где о}(?; ) — вероятность пребывания квазизамкнутой подсистемы в состоянии с энергией Ei, Q(Ei) — кратность вырождения, © — статистическая температура.
Величину Z = ^ exp^-^' j Q(Ei) называют суммой
І
по состояниям или статистической суммой.
Величина 0 является температурой, выраженной в энергетических единицах. Она превращает неполный дифференциал количества теплоты 5Q в полный дифференциал величины ] , где F — свободная энергия \ Э© Jy
системы:
6S- -edOi
Величина © принимает одинаковые значения в двух различных системах, находящихся в состоянии термодинамического равновесия при тепловом контакте между ними. Универсальным коэффициентом пропорциональности, переводящим статистическую температуру 0 в термодинамическую, является постоянная Больцмана:
Q = ZzTX).
252 11.6. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
8°. Для систем, энергия состояний которых изменяется квазинепрерывно, т. е. расстояния между энергетическими уровнями которых малы сравнительно с © = kT, квантовое распределение Гиббса переходит в классическое каноническое распределение:
где dQ(E) — число различных состояний, отвечающих интервалу энергий от E до E + AE, Z — интеграл состояний, или фазовый интеграл. Для системы N тождественных частиц
где dr — элемент фазового объема, h — постоянная Планка, s — число степеней свободы системы, а интегрирование проводится по всему фазовому пространству данной системы. Интеграл состояний и статистическая сумма связаны со свободной энергией F системы соотношением
9°. Для подсистемы с большим числом частиц каноническое распределение Гиббса имеет резкий максимум. Такая подсистема наибольшую часть времени находится в наиболее вероятном состоянии с соответствующей ему энергией. Если подсистемой является одна молекула идеального газа, то каноническое распределение Гиббса переходит в распределение Максвелла—Больцмана.
Каноническое распределение Гиббса применяется при отыскании среднего значения (M) физической величины М, характеризующей состояние системы и зависящей от ее энергии:
dco(?) = 2-і ехр(-| ) dQ(?), di2(?) = ЩЕ) dE, Z = J exp( -| Jq(E) AE,
<M> = ? M(Ei)W(Ei).
11.6.4. ЗАКОН РАВНОМ. РАСПРЕД. ЭНЕРГИИ
253
При непрерывном изменении состояний (M) = J M(E)Aw(E).
10°. Вычисление Z позволяет отыскать термодинамические функции и уравнение состояния данной системы.
В таблице II. 6 приведены формулы, выражающие термодинамические функции, теплоемкость и уравнение состояния через сумму (или интеграл) по состояниям системы.
Таблица II. 6
Величина, обозначение Формула
Свободная энергия, F F = -kTlnZ
Изобарно-изотермический потенциал, Ф
Внутренгіяя энергия, U ''-и1аэгЧ
Энтропия,S
Энтальпия,H н-*т[(э!;? I+(?/),]
Теплоемкость, Cv IU
Уравнение состояния '-(П-чгч
4. ЗАКОН РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ
1°. В классической статистической физике считается, что в термодинамически равновесной системе действует следующий закон равномерного распределения энергии-, на каждую степень свободы частиц, образую-
254 11.6. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
щих систему, в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная Wk0. Поскольку одноатомная («точечная») молекула имеет три степени свободы, а ее
