Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
2°. Наиболее вероятное, т. е. термодинамически равновесное, состояние системы невзаимодействующих тождественных бозонов, образующих идеальный бозе-газ, описывается распределением Бозе—Эйнштейна:
, \ Ni Г fwi~v \ -, T1
<*,>=- = J-1J -
Здесь Wi — возможные значения энергии частицы, gt — число различных квантовых состояний частицы, соответствующих ее энергии Wi (степень вырождения), Nt — число частиц в системе, имеющих энергию Wi, (rij) — среднее число частиц, находящихся в і-м квантовом состоянии, T — термодинамическая температура, k — постоянная Больцмана, а (X — химический потенциал, отнесенный к одной частице. Химический потенциал (х определяется из условия постоянства общего числа частиц в системе: YjNi = N = const. Если последнее условие не выполняется, то (х = 0. Например, |х = 0 для равновесного излучения — для равновесной системы фотонов в замкнутой полости, общее число которых в объеме полости увеличивается с увеличением температуры.
3°. В системах невзаимодействующих тождественных частиц, описываемых антисимметричными волновыми функциями и образующих идеальный Ферми-газ, осуществляется статистика Ферми—Дирака. Эта статистика описывает поведение фермионов (электронов, барионов и др.) — частиц, подчиняющихся принципу запрета Паули и имеющих полуцелый спин. В таких системах в одном квантовом состоянии может находиться не более одной частицы. Решение задачи о наиболее вероятном распределении частиц по состояниям, при условии сохранения полной энергии системы и полного числа ее частиц, приводит к функции распределения Ферми—Дирака-.
Обозначения здесь те же, что и для распределения Бозе—Эйнштейна.
9 Зак. 2940
258
11.6. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
4°. Функции распределения в классической и квантовых статистиках могут быть записаны в единой формуле:
<П) = ™ = [ехрГ W__jx j + 6Jl = A-i[e*p( ^ ) + 5]'1.
Здесь dN — число частиц системы, энергия которых заключена в узком диапазоне от W до W + dW, d?f —
число соответствующих различных квантовых состояний
частицы, А = exp ^ J — параметр вырождения.
На рис. II.6.1 показаны три функции распределения: Максвелла—Больцмана 1 (5 = О); Бозе—Эйнштейна 2(8 = -1); Ферми—Дирака 3 (8 = +1).
8. ВЫРОЖДЕННЫЙ ГАЗ
1°. Вырожденным газом называют газ, квантовые свойства которого играют существенную роль. В зависимости от величины спина частиц вырожденные газы подчиняются квантовым распределениям Бозе—Эйнштейна или Ферми—Дирака. Примером вырожденного идеального Бозе-газа может служить фотонный газ в замкнутой полости, а примером идеального Ферми-га-за — электронный газ в металле. Газ вырожден, если его параметр вырождения А и химический потенциал удовлетворяют условиям:
А = exp [ JL ] > 1и О.
Если А 1, то в формулах распределений Бозе— Эйнштейна и Ферми—Дирака первый член в знаменателе формул для (Hj) во много раз больше 1. Поэтому вторым членом (±1) можно пренебречь и перейти от квантовых распределений к классическому распределению Максвелла—Больцмана. При этом несуществен-
Il 6.8. ВЫРОЖДЕННЫЙ ГАЗ
259
но, каковы частицы газа — фермионы или бозоны, так как всегда п 1. Такой газ, описываемый классической статистической физикой, называют невырожденным газом. Для него справедливо условие
«1,
где т0 — масса одной частицы, п0 — концентрация частиц в газе, h — постоянная Планка.
2°. Газ вырожден, если его температура T < T0, где T0 — температура вырождения, зависящая от концентрации п0, массы т0 и спина частиц газа. По порядку величины
2/3,?
T0 = - ®----
2nm0k
При h —» О температура вырождения T0^* О, что свидетельствует о квантовой природе явления вырождения газов. Фотонный газ всегда вырожден, так как масса фотона равна нулю, и T0 = оо. Температура вырождения самого легкого молекулярного газа — водорода, при обычных значениях давления и температуры, порядка 1 К. Еще меньше значения T0 у других газов с более тяжелыми молекулами.
3°. Равновесное излучение в замкнутой полости можно рассматривать как идеальный газ фотонов всевозможных частот, находящийся в состоянии термодинамического равновесия со стенками полости. Спин фотона равен 1 (в единицах h = h/2n), так что фотоны образуют идеальный Бозе-газ, находящийся в полости объемом V при температуре Т.
Число различных состояний фотонов в объеме dt части фазового ^-пространства, соответствующей фотонам с энергией в пределах от W до W+ dW и модулями импульса в пределах от р до р + dp, равно
= тїї АпР2 dP = ггъ w2 dw-
hd h6 h6c6
Коэффициент 2 в этой формуле учитывает существо-мание двух независимых взаимно перпендикулярных
260 11.6. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
направлений поляризации света. Число фотонов в полости непостоянно (возрастает с увеличением температуры). Поэтому химический потенциал фотонного газа )Х = 0 независимо от значения температуры. Параметр вырождения А = 1, и функция распределения Бозе— Эйнштейна для фотонного газа имеет вид
dN = I = 1
Ag
expS"1 ехр®-
так как энергия и импульс фотона соответственно равны W = hv, р = — , где V — частота излучения, с — ско-
