Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
C
рость света в вакууме.
4°. Число фотонов с энергией от W до W+ и частотой от V до V + dv в объеме V:
d N(W)= 6ё - 8 п V 2Fd V
expB)-1 c8Eexp(Si)-1]
Объемная плотность энергии излучения в интервале частот от V до v 4- dv:
w(y, Т) dv = = ___Snv2Ziy___
c3H(S)-1]
(формула Планка для объемной плотности энергии теплового излучения черного тела).
Энергия излучения
и= v_ 8ns(kT)4 hs 15 с3
(закон Стефана—Больцмана).
Давление излучения р = і ^. Свободная энергия
F = —U. Энергия Гиббса Ф = О. Энтропия излучения S = = 4 U 3 Г'
5°. В первом приближении электроны проводимости в металле рассматривают как идеальный Ферми-газ.
Il 6 8. ВЫРОЖДЕННЫЙ ГАЗ
261
Концентрация электронов проводимости в металле столь велика (п0 ~ IO28 - IO29 м~3), а масса столь мала (те ~ 10“3° кг), что электронный газ в металле вырожден при всех значениях температуры, соответствующих конденсированному агрегатному состоянию металла. Температура вырождения электронного газа в металле T0 ~ IO4 К.
D2
6°. Энергия электрона W = і— , где р — модуль его
2т
импульса. Число разных квантовых состояний электронов, приходящихся на интервал значений энергии от W до W+ dW, равно
dq = 2Ё1 = p2dp = іїГ (2m)3/2 WV2 dW,
H3 h3 h3
где коэффициент 2 учитывает две возможные ориентации спина электрона.
Функция заполнения электронами проводимости состояний (функция распределения Ферми—Дирака) <»> = ^ =
d<7
eXPf^) + 1
Число электронов в единице объема, энергия которых заключена в интервале W до W + dW, равно
dn0(W) = .. W1/24^
ft3 expM + l V kT J
7°. При температуре T = 0 химический потенциал электронного газа JX(O) совпадает с наибольшей энергией Wf, которую могут иметь электроны при этой температуре: jx(0) = (nX - Wp. Все состояния с энергией W < Wf заняты электронами, а все 1 состояния с W > Wf свободны.
Энергию Wf называют энергией Фер-
VU. График распределения электро- o'-—*
нов по состояниям при T = 0 изобра- F
«PU на рис. II.6.2. рис „62
262
11.6. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
В модели электронного газа в металлах электроны при T — О равномерно заполняют все ячейки фазового
пространства, лежащие внутри сферы объемом ^ п pF V,
где pF — наибольший импульс электрона при T = О (импульс Ферми). Число состояний в этой сфере с учетом принципа Паули и двух возможных ориентаций спина электрона равно числу электронов:
2 -L і Jipt V=N, й3 3
откуда
i,r3noV/3
где п0 = р — концентрация электронов. Наибольшая энергия электрона при T= О равна
А* ( 3«о Ї2'8
wf=EL=*(??°Y\
2т 2т V 8п )
При концентрации свободных электронов в металлах п0 ~ IO22 м 3, их энергии Ферми Wp соответствует температура T классического газа, равная W
T ~ —I ~ IO4 К. к
Средняя энергия электрона в металле при T = 0 равна
(W) = ^ Wf= ")2/3 ,
' 5 F IOm I. Sn J
т. е. она имеет порядок величины Wf.
Давление электронного газа при T —» 0 равно
2 „ w _ U2 f 3 Л2/3 5/3
P- 5 nOwF-^ - J nO ¦
Коэффициент сжимаемости электронного газа при
0
P=-=31.
1 H Эр )г 5 р
11.6 8 ВЫРОЖДЕННЫЙ ГАЗ
263
8°. Функция распределения Ферми—Дирака, изображенная на рис. П.6.2, представляет собой наиболее вероятное распределение. Термодинамическая вероятность такого распределения равна единице, откуда следует, что энтропия электронного газа при T = О равна нулю в соответствии с принципом Нернста.
9°. При T ^ О функция распределения Ферми— Дирака изображена на рис. II.6.1. Она отличается от прямоугольника (при T = О) в узкой области энергии, имеющей ширину порядка 2кТ.
Химический потенциал р. электронного газа слабо зависит от температуры:
где Wp — энергия Ферми.
Энтропия S вырожденного электронного газа равна
где V — объем газа, k — постоянная Больцмана. При T —• О S — О.
10°. Внутренняя энергия U электронного газа равна
где N — общее число электронов в объеме V.
Молярная теплоемкость Cv электронного газа
Сравнение с классическим выражением для теплоемкости Cv одноатомного газа дает
S = її! Z (2m)3/2 k\Ll/2kT.
3 h3
х + _5_ і nkT
12 Wp J
Л
так как — ~ 0,01 при всех температурах, когда элек-Wf
тронный газ еще вырожден. Теплоемкость электронно-
264 IL6 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
го газа в металлах ничтожно мала. Это связано с тем, что в процессе, изменения внутренней энергии при нагревании участвует незначительное число электронов, находящихся в состояниях, соответствующих «области спада» функции распределения Ферми—Дирака при Г ^ О (рис. II.6.1).
11°. В связи с тем, что энергия газов, описываемых квантовыми статистиками, не является линейной функцией температуры, простое физическое истолкование термодинамической температуры непригодно в области низких температур.
9. ТЕПЛОЕМКОСТИ ОДНОАТОМНЫХ И ДВУХАТОМНЫХ ГАЗОВ
1°. Для одноатомного газа, молекулы которого имеют три степени свободы поступательного движения, согласно закону равномерного распределения энергии по степеням свободы, внутренняя энергия 1 моля газа равна
