Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
3 kT kT
средняя кинетическая энергия равна —— , Wk0 = — ,
где k — постоянная Больцмана, a T — термодинамическая температура.
2°. При колебательном движении частица имеет как кинетическую, так и потенциальную энергию. Если колебания гармонические, то кинетическая и потенциальная энергии в среднем равны друг другу. Поэтому на одну колебательную степень свободы в среднем приходится энергия, равная 2Wk0 = kT.
5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА—БОЛЬЦМАНА
1°. Закон, или распределение Максвелла—Больцмана устанавливает распределение молекул газа по координатам и скоростям при наличии произвольного потенциального силового поля.
Наиболее употребительные формулы этого распределения:
a) dп(и; х, у, г) =
= ехрГ-± (и* + Y] u*dudV,
Ли3в L О mO П
где ив — наиболее вероятная скорость молекул, dnu — число молекул в объеме газа dV вблизи точки (х, у, г), скорости которых заключены в интервале от и до и + du, т0 — масса молекулы, Wn(x, у, г) — потенциальная энергия молекулы в рассматриваемой точке внешнего силового поля, R0 — концентрация молекул газа в той точке, в которой Wn = 0;
VdUipx,Ру,Pz-, X, у, 2) = const ¦ -—і—— X
2 2 2
X exp
2 т$кТ
)dpxdpydpz ¦ exp 'Z) ^dxdydz,
где dco — вероятность того, что координаты и проекции импульса молекулы находятся в элементе фазового объема dx = dxdydzdpxdp dpz около фазовой точки
11.6.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА—БОЛЬЦМАНА 255
(х, у, г, рх, ру, pz); Wn(x, у, г) — потенциальная энергия молекулы во внешнем силовом поле. В такой форме распределение Максвелла—Больцмана можно рассматривать как функцию распределения, представляющую собой произведение вероятностей двух независимых событий — вероятности данного значения импульса молекулы и данного положения ее в пространстве. Первая вероятность
dco(Px-Py’PJ= (2nmlokTy3l2 exp yPxdpydpz
является распределением Максвелла. Вторая вероятность
(IV (х Ij z) "Ч
-——pf’— Jdardj/dz
называется распределением Больцмана.
2°. Распределение Больцмана в гравитационном поле. Потенциальная энергия молекулы с массой т0 в поле тяготения: Wn = m()gz, где г — высота и g — ускорение свободного падения. На каждой высоте имеется максвелловское распределение молекул по скоростям, определяемое температурой. Интегрирование распределения Максвелла по всем импульсам дает число молекул, находящихся в объеме da: dу dz:
dп(х, у, г) = const • exp^-”^2 ^dardj/dz.
Отсюда следует, что плотность газа р = ^п{х' У’2) щп
da:di/d2 и
убывает с высотой по экспоненциальному закону: р = const ¦ ехр(-^р ].
Постоянную в этом выражении определяют из условия, что при Z = Op= const. Таким образом,
(ібарометрическая формула). Плотность газа убывает в
k rT
е ~ 2,71 раза на высоте h =----, называемой характе-
m0g
ристической длиной распределения Больцмана в гравитационном поле.
256 Il 6. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
6. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
1°. Квантовой статистикой называют теорию систем, состоящих из весьма большого числа частиц, подчиняющихся квантовым закономерностям.
Состояние произвольной квантовомеханической системы, имеющей s степеней свободы, можно рассматривать в так называемом квазиклассическом приближении аналогично тому, как это делается в классической механике. При этом на возможные состояния системы накладывается ограничение: каждому квантовому состоянию системы с s степенями свободы соответствует ячейка в ее фазовом пространстве, имеющая объем hs.
Изменение состояния системы может происходить лишь дискретно; система из одних ячеек фазового объема переходит «скачком» в другие. В квазиклассическом приближении переход в соседнюю квантовую ячейку соответствует очень малому изменению свойств системы. Можно считать, что свойства системы изменяются непрерывно. Распределение частиц по ячейкам 6-мерного фазового (!-пространства (х, у, z, рх, pt/, pz) характеризует определенное микросостояние системы.
2°. Задачей квантовой статистики является отыскание функции распределения системы частиц в фазовом пространстве. Существенным отличием квантовой статистики от классической является последовательное проведение принципа неразличимости тождественных частиц. В квантовой статистике при решении задачи о распределении тождественных частиц в фазовом пространстве не имеет смысла постановка вопроса о том, какая из частиц находится в данной ячейке фазового пространства. Ставится вопрос лишь о числе частиц, находящихся в данной ячейке. Микросостояние системы не изменяется от перестановки частиц как внутри данной ячейки фазового пространства, так и между ячейками.
7. КВАНТОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БОЗЕ—ЭЙНШТЕЙНА И ФЕРМИ—ДИРАКА
1°. В системах невзаимодействующих тождественных частиц, описываемых симметричными волновы-¦ми функциями, осуществляется статистика Бозе— Эйнштейна. Этой статистике подчиняются системы частиц с целым спином — бозоны (например, фотоны и
Il 6.7 КВАНТ. РАСПРЕД. БОЗЕ—ЭЙНШТЕЙНА И ФЕРМИ—ДИРАКА 257
мезоны), для которых не накладывается ограничение на число частиц, могущих находиться в данной клетке 6-мерного фазового пространства.