Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
тепловых колебаний атомов могут быть учтены в псевдопотенциальной теории
кристаллов и существенно расширяют ее возможности в плане расчета п
анализа важнейших характеристик и атомных свойств.
§ 29. Статические дефекты
Понятие статических дефектов включает: замещение одних атомов другими;
появление атомов там, где их не было, п исчезновение из мест, где они
были; смещение атомов, окружающих "возмущенное" место. Обычно
предполагают, что остовы атомов в возмущенном кристалле не отличаются от
остовов в невозму-щепной матрице. Это означает, что статические дефекты
принимаются за "замороженные" колебания атомов, для которых справедливо
адиабатическое приближение (разумеется, при этом учитываются эффекты
изменения средних межатомных расстояний, средней плотности распределения
зарядов и т. п.). Вследствие этого изменения в энергии кристалла,
обусловленные дефектами, могут быть сведены к изменениям в структурном
факторе кристалла, и задача расчета энергии кристаллов, содержащих
дефекты, оказывается во многом аналогичной ранее рассмотренным задачам
расчета энергии сплавов и учета тепловых колебаний.
В качестве примеров здесь мы получим и обсудим формулы для расчета
энергии однокомпонентиых кристаллов с точечными дефектами замещения и
внедрения.
300
ГЛ. 8. ДЕФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ
Начнем, как и ранее, с выражения для энергии зонной структуры. Для его
получения следует определить матричный элемент W\v (q) с учетом изменения
формфакторов в дефектных узлах и смещений ионов, окружающих дефекты.
Рассмотрим кристалл, содержащий Nc неупорядоченно расположенных дефектов
(с - концентрация дефектов). Введем по аналогии со сплавами операторы
заполнения cv, равные единице, если в v-м узле есть дефект, и нулю, если
его там пет. Тогда
^кр.д (Г) = 4* 2 Ш - -) (Г - tv - uv) +
V
-f cvTy?(r - tv - uv)}. (8.41)
Здесь W^(t-tv-uv) и 1Рд(г-tv-uv)- псевдопотенциалы соответственно атома
матрицы и дефекта, расположенного в точке с координатами tv + uv, где tv
- положение соответствующего узла в трансляционной решетке, uv - смещение
нз этого узла. Переходя к фурье-компонентам, получим
•^Р.д(ч) = ^2 1(1 - Су) Wi (q) e-^.tv+uv +
V
+ CyWд (q) e_i,'tv+Uvl. (8.42)
Рассмотрим теперь изменения в энергии однокомпонентного кристалла при
возникновении Nc вакансий, не смещающих окружающие атомы. Введем для
этого матричные элементы псевдопотенциала "среднего" н "разностного"
ионов такого кристалла:
Wb (q) = (1 - с) Wm (q) -р 0, NWb (q) = 0 - ТУ* (q). (8.43)
В этом приближении с учетом формул (6.5)-- (6.13)
I Кр.а (q) I2 = (1 - с)21 Wb (q) Is 5",gn + 1 К (q) |2. (8.44)
Энергия зонной структуры для этого случая может быть записана в виде
=-fe-2V"(1 -<о* 1 ль"(gn> 1'+
+ ^ 2' Я' I Wi (ч) t (8.45)
ч
В первой сумме отсутствует член с g" = 0, а во второй - члены С q = gn.
Если допустить, что период решетки при образовании дефектов в нашем
случае не меняется (поскольку с ^ 10~3, такое до-
§ 29. СТАТИЧЕСКИЕ ДЕФЕКТЫ
301
пущение не столь уж грубо), то
Во второй сумме число членов в N раз больше, чем в первой, и поэтому
можно утверждать, что суммы сравнимы по величине. Поскольку знаки этих
сумм различны, только конкретный расчет обеих сумм может выявить для
каждого случая знак разности ^ья, а - ?'ы, яд в рассматриваемой модели.
Конечно, при проведении таких расчетов следует учесть также изменение
среднего атомного объема и связанных с ним характеристик.
Интересен другой аспект использования выражения (8.46). Первый из его
членов отвечает переходам электронов между состояниями, разность между
которыми равна векторам обратной решетки, а второй - произвольным
векторам обратного пространства. Поэтому первый член, отличающийся от
аналогичного выражения для идеального кристалла только постоянным
коэффициентом (-2с-г с2), не будет вносить вклад в такие транспортные
атомные свойства, как электросопротивление, термо-э. д. с. и т. п., и
остаточное сопротивление кристалла, содержащего дефекты, будет
определяться только вторым членом. Как указано в [ 1], расчеты
электросопротивления ряда материалов по формуле (8.47) (здесь х = q/2kF):
качественно согласуются с экспериментом.
Учтем теперь эффекты смещений атомов. Исходным будет соотношение (8.42),
смещения атомов uv в котором можно выразить через сумму вкладов всех
смещающих дефектов. Каждый из таких вкладов будет произведением оператора
заполнения узла дефектом Су на функцию смещения Av_v<, зависящую от
расстояния от дефекта, расположенного в узле v', до смещающегося атома,
который находится в v-м узле. В итоге
р = 3пт М. f | S (q)|a | W'(q)|2 x3dx
F tJ
0
(8.47)
(8.48)
Поскольку это соотношение является сверткой функций с(г) и А(г), то далее
удобно перейти к фурье-компонентам (напомним, что фурье-трансформанта
свертки функций есть произведение
302 гл- 8- ДЕФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ
фурье-трансформант этих же функций):
Uq = Cq Aq. (8.49)
Здесь <?Q определяется по формуле (6.9), а коэффициенты Aq находятся [29]
