Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
элемента, проведем рассмотрение сразу для 12^кр (q)|2. Имеем
I 2Гкр (q) I2 = lj^-2 2 'V~V f1 - uv - "V' -
A vv/
|-[q, uv - uV']2 • • •}• (8.5)
Среднее значение hv равно нулю, и поэтому
I ^кр (q) I2 = |tybJ2q) |2 2 e-iq'*v-v {l-|_(q, Uv_ "",)*}. (8.6)
vv'
288
ГЛ. 8. ДЕФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ
Теперь удобно перейти к нормальным координатам. Это можно сделать, если
перейти от рассмотрения совокупности колеблющихся атомов к совокупности
волн. Тогда амплитуды этих волн (зависящие, как будет видно, от волновых
векторов) и станут нормальными координатами. При таком рассмотрении
N 3
Uv = S 2 2aQeQ cos (coQ.f - Qjtv - 6Q.),: (8.7)
Q=lj=l 1'
где aQj - половина амплитуды волны, имеющей волновой вектор Q и
поляризацию /; - орт, определяющий направление сме-
щений атомов под действием этой волны, причем колебания будут
продольными, если Cq. |i Q, и поперечными, если Cq; J_Q; 8q. - фаза
волны.
При вычислении (uv - iv)2 появляются члены вида cos2 (coQj? - Q,tv -
6Qj), cos2 (ooQ,.,t - Qptv/ - 6Q^.,)
и
2 cos(coQi# - Qjtv - 6Qj) cos (cdQ,.,t - Qj/tv/ -
Величина (uv - uV')2 является суперпозицией большого числа волн, и для ее
оценки можно воспользоваться подсчетом средних значений каждой из
входящих в нее величин.
Среднее значение квадрата косинуса равно 1/2, а произведения косинусов
зависят от того, будут ли одинаковыми или различными Q и Q', / и Если они
различны, то отвечающие им волны независимы, п поэтому средние значения
произведения косинусов обратятся в нуль. При Q = Q' и / = /'
2 cos (a>Qjt - Qjtv - 6Qj) cos (соQ.t - Qjtv/ - 6Qj.) =
= cos [2coq^ - Qj, tv + tV' - 26q;. ] -f- cos Qj, tv - t.y. (8.8)
Очевидно, что последний член от времени не зависит.
Таким образом,
(q, uv - uv/)2 = 4 | q"QjeQj |2 (1 - cos Qj, tv - V)- (8.9)
Этот же результат может быть получен и более строго, но здесь такое
доказательство приводиться не будет. Подставляя (8.9) в (8.7) и (8.6),
получим
Кр (q) I2 = 4s I W" <Ч) I2 2 X
x{l-|S2|qeQ.aQjj2(l-cosQj, tv - tv/)|. (8.10)
§ 28. КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 2S9
Легко видеть, что | W\р (q) |2
состоит из двух членов. Первый из
них,
| УКр (q) |л = ~\ wb (q) I2 2 e~i4'tv~tv'i (8.11)
J' v,v'
отвечает ранее рассмотренному случаю кристалла, атомы которого
неподвижны. Эффект же тепловых колебаний атомов описывается вторым членом
!П. (Ч) !> -4! 1Г (q)|22e-^v-Vx
Л vvr
x(h'Z'2\q,eQ.aQ, р (cos Qj, tv - tv, - 1)1. (8.12)
\ Q i 1 1
Заменяя в (8.12) cos Qj, tv - tv/ полусуммой экспонент с мнимым
аргументом ± z'Qii tv - tv/, получим
I УГЬЩ, (q) ILh = 4*\Wb ((I) !2 2 2 I <1, eQjflQj j2X л Q i
X 2 {e~i(4~Q-''tv_tv'( - e~i(4+Q-''tv_tv') - 2e_itr'fv_tv'l =
vvf
= 1 TFb (q) Г 2 2 2 l6q.Qj+enI (gr. -f Qi) eQjaQ. [* -i-
Q j n 1
+ §q,gn-Qj| (gn Qj) eQjaQj |" 26qgn | gn^Q j(lQ. |2 ). (8.13)
Подставляя полученные здесь выражения (8.13) в (6.1), найдем для вклада Q
волны в энергию зонной структуры колебаний:
6Ubs (Q) = -|г 2 2 (I ~ Qi) eQjaQj |2 Ф (gn + Qi) 4-
П j
+ I (gn - Qi) eQj aQj| Ф (ga - Q,-)| -
П j
Общее изменение зонной энергии за счет тепловых колебаний атомов будет
суммой 6(7bs(Q) по всем Q. Очевидно, для проведения этого расчета
необходимо знать зависимость амплитуд тепловых волн oq. от волнового
вектора п поляризации.
Влияние тепловых колебаний атомов на электростатическую энергию находится
аналогично. Нужно получить полное выражение для электростатической
энергии и исключить члены, характеризующие энергию кристалла с
неподвижными атомами. Легко убедиться в том, что для рассматриваемого
здесь простого случая кристалла с примитивной элементарной ячейкой вклад
Q-волны
19 Л. И. Ястребов, А. А. Кацнельсон
290
ГЛ. 8. ДЕФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ
будет равен
е
(g,i+Qj)2
(ЗД5)
Здесь, как и для б(7bS(Q), в последней сумме члены с g" = 0 опускаются.
Очевидно, что суммарный вклад Q тепловой волны в конфигурационную часть
энергии определяется суммой выраже-
Приведенный анализ показывает, что с помощью псевдопотенциальной теории
оказывается возможным рассчитывать Q-kom-поненты изменения энергии
кристалла за счет тепловых колебаний атомов за исключением амплитуд
тепловых волн, которые должны быть найдены из независимых соображении.
Именно по этой причине расчет полного эффекта тепловых колебаний
оказывается достаточно затрудненным.
В то же время сравнение результатов псевдопотенциальной теории и выводов
динамической теории кристаллической решетки показывает, что сравнительно
просто рассчитываемые величины 6?7bs(Q) + 6?/es(Q) могут быть весьма
эффективно использованы для вычисления фононных спектров, которые, как
известно, могут надежно определяться современными экспериментальными
методами. Для того чтобы обосновать эти утверждения, рассмотрим ряд
положений динамической теории.
Поскольку бU является изменением потенциальной энергии решетки за счет
колебаний его атомов, воспользуемся общим выражением для потенциальной
энергии кристалла, которое может быть представлено в виде разложения в
