Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
из условий равновесия относительно смещений атомов. Так, для упругого
изотропного континуума
= <8-50>
1 dV
где о - модуль Пуассона,- -^ зависимость удельного ооъема
кристалла от концентрации дефектов. В упруго-анизотропных кристаллах и
тем более в микроскопической теории выражение для Aq усложняется.
Например, для ГЦК решетки в направлении [100]
d (сп 2с12) Сп1 4- -^r (ctg Q. (8.51)
Здесь Си, с12 - модули упругости, d - период решетки.
Знание величин Aq позволяет найти и смещения ионов в зависимости от
расстояния от дефекта (примесного атома) по формуле
uv (г) = 4" 2 sin Qr> (8.52)
Q
и средние квадраты статических смещений ионов:
"? = 2К9*А?. (8.53)
Если дефекты расположены неупорядоченно, то
_3_
4я
u2v = -4c(l-c)d2.l/°, (8.54)
где Л/° = ь(44j . В приближении Борна и Бегбп [105] (принимающем во
внимание взаимодействие только между ближайшими соседями, но с учетом
нецентральных сил), для типичных металлов Ag, Al, Ni... величина b ~ 0,25
-г- 0,45.
Рассмотрим теперь вклад смещений атомов в квадрат модуля матричного
элемента j Ж^кр. д (q)|2. Аналогия с эффектами тепловых колебаний
показывает, что выражение для | (ч)|2 будет
состоять из двух частей. Первая из них может быть записана следующим
образом:
I Щ1.д (Ч)!2 = I Wb (q)|2 е-2М- fiq, g' (8.55)
§ 29. СТАТИЧЕСКИЕ ДЕФЕКТЫ
303
Здесь gn - векторы обратной решетки, измененные при появлении дефектов,
по сравнению с идеальным бездефектным кристаллом, Л/с, = V2 (quv)2-
Соответственно энергия зонной структуры, отвечающая этой части матричного
элемента, будет иметь вид
pffi .-&21 И*<fc)Р •- Ш""* С (8.56)
е* (gn) "
Из (8.55) - (8.56) видно, что за счет взаимодействия электронного газа с
дефектами кристаллической решетки, вызывающими смешения атомов из
идеальных положений, изменяются матричные элементы перехода электронов из
одного состояния в другое. Если эффекты изменения ПРИ возникновении
дефектов несущественны, то абсолютная величина будет меньше, чем в
идеальном кристалле. Поскольку Ubs < 0, возникновение дефектов, смещающих
атомы, приводит за счет рассматриваемой части Ubs, д К понижению
устойчивости кристаллической решетки. При этом, разумеется, для
проведения реальных оценок необходим учет и вклада электростатической
энергии, который можно получить, если в (8.56) заменить
S (*'¦)'--.TV-r I wb (в")|* - e " . (8.57)
fi
" In' Vs______________________________________________- _____________
¦oo 1 45n/l ^(a2
Вторая часть квадрата модуля матричного элемента дефектного кристалла
имеет вид
I ГЬА (q)i2 = 1 (q)|2 {|Aq, g" + Q |2 6q, gn +
Q +
+ I Aq, gn Q|26q, gn_Q}. (8.58)
Подстановка этого выражения в формулы для энергии зонной структуры
позволяет найти добавку к этой энергии, знак которой будет совпадать со
знаком ?/bs. Поэтому и величина, п знак изменения полной энергии (к
(8.58) при этом следует добавить электростатическую энергию, для чего
нужно воспользоваться заменой (8.57)) могут быть получены лишь строгим
расчетом.
Рассчитанные значения внутренней энергии дефектного кристалла могут быть
использованы для определения свободной энергии, минимизация которой дает
принципиальную возможность определить равновесные концентрации дефектов.
Выше при получении коэффициентов Aq использовалось либо приближение
упругого изотропного континуума, либо приближение Борна - Бегби (1051.
Теория псевдопотенциалов предоставляет новые возможности, поскольку с ее
помощью могут быть
304 гл. 8. ДЕФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ
найдены потенциалы межатомного взаимодействия для любого расстояния от
дефекта.
Используя формализм, предложенный в [29, 106], a-компонента смещения иона
матрицы, расположенного в tv-м узле (дефект в Tv'-м узле), может быть
записана в виде
g
(^) = - i ~уз f d4 2 (4(5 ж gnp) -T (q -f gn)] e~4' tv~Tv'.
(2я) J p=i I " J
(8.59)
В (8.59) интегрирование проводится по зоне Бриллюэна. ga?, q) - фурье-
трансформанта решеточной функции Грина [107]
/ \ П-1/ \ V еа (q,^) "й".
ga& (q )=D (q)aP = 2 • (8-b°)
?,=1 AJaq,K
Здесь D - динамическая матрица, e(q, К) - вектор поляризации с индексом
поляризации К, Л1 - масса иона матрицы, атом дри-меси расположен в TV'-m
узле. В скобке содержится фурье-ком-понента силы - ?T(tv), действующей на
атом матрицы в узле tv со стороны примесного атома:
(tv) = ^ k#" (k) eik'tv~Tv'. (8.61)
Указанные выше выражения могут быть получены, если полную энергию системы
матрица - примесь записать в виде
U = U (Й0) + ~ 2 ЗГ (tv) Uv 4- 27 77vav'a'UavHa'v', (8.62)
v va
v'a'
где ?/(Q0)-энергия кристалла с периодическим расположением атомов,
Dvav/a> - динамическая матрица чистого кристалла в узельном
представлении:
D,av'a' = 2 D (q) (8.63)
q
В (8.62) использовано гармоническое приближение.
С другой стороны, как уже указывалось, для сплавов полную энергию можно
представить в виде ряда:
U=U" + ?/"(С20) + и(,)Шо) + U{2) + U<3> + ... (8.64)
Зависящими от структуры здесь будут, как и ранее, U,e, Um и
§ 29. СТАТИЧЕСКИЕ ДЕФЕКТЫ
305
U(3). Общий их вид указан выше. Например,
