Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ястребов Л.И. -> "Основы одноэлектронной теории твердого тела" -> 115

Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.

Ястребов Л.И., Кацнельсон А.А. Основы одноэлектронной теории твердого тела — М.: Наука, 1981. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): osnoviodnoelektronnoyteoriitela1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 129 >> Следующая

степенной ряд по отклонениям атомов от положения равновесия, т. е. по
компонентам (/) векторов u3vt (v- индекс атома, I - ячейки):
ний (8.14) и (8.15).
(8.16)
Здесь индекс 0 соответствует равновесному положению атомов. Потенциальную
энергию основного состояния У0 можно положить равной нулю (т. е. принять
за начало отсчета). При и^г = 0 по-
§ 28. КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
291
тепцпальпая энергия минимальна, п поэтому из условий экстремума имеем
\dVIdи{-;] = 0. В связи с этим первый существенный член разложения (8.16)
квадратичен по смещениям, он соответствует гармоническим колебаниям
атома. Легко видеть, что именно ему отвечает рассчитанная выше величина
6(7.
Кинетическая энергия решетки, состоящей из атомов массы М,, смещения
которых из положения равновесия составляют и?ь равна
?шш = -1 "Г I Uvz |\ (8.17)
Vlj
Сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна, откуда вытекает
уравнение
v'1'У
д2У
ч(.щ, (8.18)
которое справедливо для всех узлов v в элементарной ячейке, всех ячеек I
в решетке и каждой компоненты / вектора смещения. Очевидно, что (8.18) -
система весьма большого числа связанных дифференциальных уравнений, и ее
прямое решение нереально.
В соответствии с законами классической механики коэффициенты при
компонентах смещений атомов в правой части уравнений системы (8.18) -
компоненты тензора спл
5-Т
(8.19)
Поскольку все ячейки одинаковы, тензор G должен зависеть не от положения
I и Г в решетке, а лишь от их разнести h. Отсюда следует, что
Gy у', К' - ^vv' :ji). (8.20)
Тогда (8.18) примет вид
Mvuii = - 2 (8.21)
vf ,h,jf
Эта форма записи инвариантна относительно трансляций, и к пей применима
теорема Блоха:
и(г (t) = eiQVv0 (t). (8.22)
Подставляя в (8.21), получим
Л/Х0е"" = -2(2 G&.h е"*] ul^e^. (8-23) v'j' ( h J
Выражение в фигурных скобках есть фурье-образ силового тензора G.
Множитель eiQI может быть вынесен за знак суммы
19*
292
ГЛ. 8. ДЕФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ
и сокращен. В этом случае
МчUv0 = - 2 &vv' (Q) Uv'o- (8.24)
v'j'
Здесь Gvv'(Q)-фурье-образ выражения d2V/duiidu$'i>. В связи с тем, что
G3v3vt является функцией Q, амплитуды тепловых (упругих) волн Uvo также
будут функциями Q, и их можно обозначить следующим образом:
Uvo = UvQ. (8.25)
Из теории колебаний следует, что уравнение (8.24) можно представить в
виде
2 {Giw(Q) - a>aAMw'fiji']u&}= 0. (8.26)
v'j'
Для любого нетривиального решения системы (8.26) детерминант матрицы
коэффициентов при амплитудах Uv'q должен быть равен нулю. Это позволяет
находить спектр частот gj(Q) при любых значениях Q. Но из предыдущего
рассмотрения видно, что сумма 6Z7ba(Q) + 6?7es(Q) равна квадратичному
члену разложения .(8.16). Поэтому расчет Q-компонент изменения зонной и
электростатической энергий позволяет найти коэффициенты при амплитудах
упругих волн.
Число уравнений, входящих в систему (8.26), равно произведению числа
поляризаций (3) на число атомов в элементарной ячейке. Это число в N {N -
число ячеек в кристалле) раз меньше количества уравнений в (8.18), и
легко видеть, что решение системы (8.26) вполне реально. Правда,
формально рассуждая, эту систему следовало бы решать при всех (т. е. при
У) значениях Q. Однако в действительности ее можно решать лишь
относительно некоторых зпачеиий Q, находя остальные интерполяцией. При
этом объем вычислительной работы оказывается значительно меньшим, чем при
решении (8.18).
Изложенное выше показывает, что коэффициенты динамической матрицы (8.26)
могут быть найдены методом псевдопотен-циалов. Вычисление детерминантов
этой матрицы лает во ложность найти расчетом фоноииые спектры. Результаты
таких расчетов интересны в нескольких отношениях. Так, сравнение
рассчитанных фононных спектров с измеренными позволяет выявлять
"работоспособность" использованных в расчете псевдопо-тенциалов, и при
необходимости корректировать (или, как гозорят в литературе - подгонять)
псевдопотенциалы. Одновременно оказывается возможным судить о тех
факторах, которые необходимо учитывать при построении правильных
псевдопотенциалов, т. е. об электрон-электронных и электрон-понных
взаимодействиях в кристалле.
§ 28. КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 293
С другой стороны, сравнение рассчитанных и измеренных фо-нонных спектров
позволяет выявлять природу особенностей этих спектров, которые, в свою
очередь, оказываются ответственными за те или иные атомные свойства.
Наконец, важной стороной теоретического (псевдопотенциаль-ного) расчета
фононных спектров является возможность вычисления фононной составляющей
свободной энергии (при давлении р?= 0 - термодинамического потенциала),
значение которой позволяет решать многие важнейшие задачи физики твердого
тела: рассчитывать фононные части электросопротивления,
термоэлектрических и гальваиомагнитных характеристик, строить фазовые
диаграммы и т. д.
Приведем для иллюстрации несколько примеров.
В работе Анималу [701 построенный им в [691 модельный потенциал для
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed