Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
где а — коэффициент пропорциональности. В этом случае прошедший пучок можно записать как
Если рассматривать Эф/dt как локальную (или мгновенную) частоту в момент времени t, то эту частоту можно записать в виде
Данное явление называется «чирпингом». При прохождении лазерного импульса через такой модулятор возникает линейное частотное уширение на протяжении импульса. Действительно, если в центре импульса а > 0 и t = 0, то фронт импульса (передний край) будет сдвинут по частоте вверх, а конец импульса (хвост) — вниз. Это иллюстрируется на рис. 8.18.
8.5.1. СЖАТИЕ ИМПУЛЬСА
Рассмотрим теперь распространение модулированного по частоте лазерного импульса через среду с дисперсией. Пусть длительность исходного лазерного импульса равна т. В результате линейного чирпинга передний фронт импульса сдвинут по частоте вверх, а задний фронт по частоте вниз (см. рис. 8.18). Если такой импульс распространяется в среде с дисперсией групповой скорости и если дисперсия такова, что групповая скорость меняется с частотой ли-
MO = Фо - а*2>
(8.5.4)
(8.5.5)
w' = ы0 - 2at.
(8.5.6) Электрооп і ические устрсйсіва
329
Mt)
РИС. 8.18. Чирпинг лазерного импульса.
нейно, то задняя (низкочастотная) часть импульса может догонять его переднюю (высокочастотную) часть и импульс может быть сжат до минимальной ширины (2ат)~\ где 2ат — величина разброса частоты.
Пусть а — параметр, характеризующий дисперсию групповой скорости в среде:
Этот же параметр был использован при описании уширения импульса в разд. 2.5. Условие сжатия импульса состоит в том, чтобы разность времен распространения передней и задней частей импульса была равна первоначальной длительности импульса т. Пусть Tj. и Tr — времена распространения передней и задней частей импуль- 330
Глава 8
са соответственно. Тогда это условие имеет вид L L
T - Tf Ir - , ч , ч -
J VgKic + ат) VgK03 ~~ ат)
или, что эквивалентно,
AaLa=\, (8.5.9)
где мы использовали (8.5.7), a L — длина среды. Для максимального сжатия импульса условие (8.5.9) должно удовлетворяться для коэффициента линейного чирпинга а и параметра а, характеризующего дисперсию групповой скорости.
Рассмотрим теперь задачу о сжатии импульса аналитически. Пусть начальный импульс имеет вид
E1(I) = A(t)e'u°', (8.5.10)
где A (I) — огибающая импульса. После линейного чирпинга лазерный импульс принимает вид
E2(t) = A(t)eiu°'~'a'2 (8.5.11)
Этот импульс с чирпингом проходит затем через диспергирующую среду. Чтобы найти, какое влияние оказывает эта среда на импульс, разложим его в интеграл Фурье
?2(0= />(«)е""</<0, (8-5.12)
где Z7(W) — частотный спектр импульса с чирпингом, определяемый выражением
F(w)= i^fE2(t')e-'"'dt'. (8.5.13)
После прохождения через среду с дисперсией каждая частотная составляющая импульса приобретает фазовый множитель e'~ikL, где к — волновое число, зависящее от частоты ш. Разложим к в ряд Электрооп і ические устрсйсіва
331
Тейлора в окрестности со,,:
где к0 — волновое число, отвечающее центральной частоте oj0, а {dk/dw)0 — обратная групповая скорость г;,;1 на частоте со0. Используя определение (8.5.7) и определение групповой скорости, выражение (8.5.14) можно переписать в виде
к(и) * к0 + I — I (« - W0) + «(« - "о)2- (8.5.15)
\ в/ 0
Прошедший импульс можно представить как
E2(t) = fF(u)e,a'-ik<^Ldu. (8.5.16)
Подставляя выражение (8.5.15) для к(ш) в (8.5.16), получаем
?з(0= . (8.5.17)
здесь T = LZvst — время распространения компоненты, отвечающей центральной частоте. Подставим теперь выражение (8.5.13) для F(ш) в (8.5.17), используем (8.5.11) и выполним интегрирование по со. В результате приходим к выражению
?з(/) = 1л({')е'(''+Т~')2/*а,'~ш''2 (8.5.18)
в котором мы использовали известную формулу ГтГ I?2
е ax2-?xdx = ^ ехр
J~oo Va
4a /'
(8.5.19)
Определим огибаюшую А }(1) прошедшего импульса следующим образом:
E3(t) = Ai(I)eiwO-ikOt ¦ (8.5.20)
Тогда с помощью (8.5.18) эту огибающую можно записать в виде
Mt) = *_ (а(ґ)є'(ґ + т-'ї1/*<'*--"»,1Ж' (8.5.21)
V 4 і-iraL J 332
Глава 8
Предположим, что первоначальный импульс имел гауссову форму:
A(t>) = e-'W (8.5.22)
Подставляя выражение (8.5.22) для А(Ґ) в (8.5.21) и используя (8.5.19), получаем
A3(f) = (i4aLB)~,/2exp
.{t - T)2 (іг - T)2
4aL
16 G1L2B
здесь
(8.5.23)
(8.5.24)
Из (8.5.23) и (8.5.24) следует, что длительность прошедшего лазерного импульса равна
T3 = ^aL
1
+
2т2/ \4aL
1 V
1/4
(8.5.25)
Из этого выражения очевидно, что длительность импульса минимальна при а. = \/AaL\ это условие совпадает с выражением (8.5.9), полученным полуинтуитивным методом. Подставляя aL = = 1/4« в (8.5.25), находим следующее выражение для минимальной длительности импульса:
(тз)тіп =
1
2ат'
(8.5.26)
Описанный выше метод был использован для сжатия импульсов от 500 до 270 пс [8]. С помощью выражений (8.5.9) и (8.5.26) можно показать, что для получения максимального сжатия длина диспергирующей среды должна быть равна
