Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
из пространственно-спроектированного вектора импульса Pa -~= = — TliyTlJiva можно образовать три наблюдаемые компоненты импульса P (І) = Paga (/).
Такое расширение теории означает переход к тетрадному формализму (см., например, [76]). Изложим самые необходимые сведения об алгебре тетрадного формализма. Более подробно весь аппарат этого формализма со специфическими тетрадными физико-геометрическими величинами и операторами рассмотрен в гл. 7.
Пусть в некоторой области 4-мерного пространства-времени задана координатная сетка, тогда в каждой точке этой области определена четверка векторов (афинная тетрада), касательных к линиям этой сетки. Они связаны с метрическим тензором соотношениями:
SfILiv ~ eM-eV' ^v = еи - (3.137)
Кроме них независимо от координатной сетки в каждой точке рассматриваемой области бесконечным числом способов можно определить другую четверку ортонормированных векторов (реперов) е(а), где а = 0, 1, 2, 3. Одним из этих векторов может быть временно-подобный вектор скорости системы отсчета т= е,0). Орты е(а) удовлетворяют соотношениям:
e(a)e(?) = e(a?), (3.138)
где є(a?)— метрический тензор плоского (касательного) пространства-времени в декартовых координатах.
76:Попарные произведения единичных векторов из разных наборов тетрад образуют матрицу коэффициентов Ламе [компонент векторов е(а), в используемой координатной сетке]
g? (а) - еде (a); g» (а) = е^е (а). (3.139)
Учитывая (3.137) и (3.138), метрический тензор g можно записать через коэффициенты Ламе следующим образом:
fffiv = Sll (а) gv (a) = (0) gv (0) — ^ (1) gv (1) —
— STia (2) firv (2) — fir^ (3) STv (3)- (3.140)
Это тетрадное представление метрического тензора соответствует монадному разбиению (3.3). Если положить g^(0) = е^т = то*
M = ^ (0 ?v (0 = M1) Sv (!) + ^ (2) gv (2) +
+ ^ (3) = МО МО- (3.141)
Для ортогональных систем координат (Hik = 0 при і~фк) коэффициенты Ламе gk(k)^hk(k) имеют вид:
hh(k) = VKh. (3.142)
Теорию Ламе можно рассматривать как триадный метод (в 3-мерном пространстве) в специальной калибровке триад — векторы e(k) выбраны вдоль координатных линий ортогональных систем координат. В гл. 7 будут рассмотрены более общие способы калибровки тетрад (триад), в частности обобщающие хронометрическую и кинеметрическую калибровки монадного метода. В следующей части достаточно будет ограничиться калибровкой Ламе.
Продемонстрируем калибровки Ламе на примере сферических координат в плоском 3-мерном пространстве. Метрика, как известно, имеет вид dl2=dr2jr г2 (dQ2jf Sin2Qdq)2). Сферические координаты являются ортогональными. Компоненты триад Ламе находят в виде Ai(I) = I; A2(2) =г; A3(3)=rsin6.
* Отметим, что основоположником этого метода следует считать Ламе, который еще в 1859 г. развил метод дополнения 3-мерных криволинейных ортогональных систем координат полем локальных соприкасающихся систем декартовых квазикоординат, т. е. ввел в 3-мерном пространстве афинную eA и ортонормиро-ванную е(0 соприкасающиеся триады, удовлетворяющие 3-мерным соотношениям типа (3,.137) и (3.138).ЧАСТЬ II
ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМ ОТСЧЕТА В КЛАССИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Глава 4
НАБЛЮДАЕМЫЕ В СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЙ МЕТРИКЕ
4.1. МЕТРИКА ШВАРЦШИЛЬДА
Наиболее важным для практики является решение уравнений Эйнштейна, описывающее метрику пространства-времени вокруг сферически-симметричного материального источника (метрика Шварцшильда [14, с. 199]). Именно эта метрика с высокой степенью точности описывает гравитационное поле в Солнечной системе и в окрестности Земли, из нее можно в основном приближении, получить закон тяготения Ньютона, а в следующем приближении объяснить известные эффекты, подтверждающие ОТО.
Для вывода метрики Шварцшильда воспользуемся нормальной системой отсчета, т. е. пусть Aliv = 0. Тогда искомое пространственно-временное многообразие глобально расщепляется на пространственные сечения и время. Сформулируем условия сферической симметрии на основе введенных ранее понятий подвижности многообразия. Ясно, что эти условия относятся к пространственным сечениям и означают возможность их поворотов вокруг выделенного центра (изотропность), т. е. искомое многообразие допускает систему из трех пространственно-подобных векторов Киллинга Й>. В кинеметрической калибровке т»*
Запишем уравнения Киллинга для пространственно-подобных векторов Киллинга в монадном виде. Проектируя уравнения Киллинга (1.55) посредством A^xv, t^tv и учитывая (4.1), соответственно находим в кинеметрической калибровке
Из соображений соответствия с вращениями плоского пространства запишем векторы Киллинга (в сферических координатах) в виде
78:
6?? = 0-*&>==().
(4Л>
(4.2)
(4.3)
(4.4)S(1I) = {0; 0; sin ф; ctg 0 cos ф};
Im = {0; 0; — со5Ф; ctgGsin Ф>; • (4.5)
%)={0; 0; 0; -1}.
Подставляя эти векторы в уравнения (4.2), получаем, что метрика пространственных сечений должна иметь вид:
dp = hu (х°, г) dr2 + b2 (*», г) (d02 + sin2 (Щ2), (4.6)
где Ь2(х°, г) — «постоянная» интегрирования.