Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Владимиров Ю.С. -> "Системы отсчета в теории гравитации" -> 31

Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.

Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации — М.: Энергоиздат, 1982. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): sistemotchetateorgrav1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 102 >> Следующая


Из уравнений (4.4) с векторами Киллинга (4.5) легко находим:

Fi = Fs = 0-* дтР/дв = дт°/дф = 0,

(4.7)

т. е. может быть отличной от нуля лишь радиальная компонента ускорения. Уравнения (4.3) приводят к соотношениям:

OxiIdQ = дт'/дф = 0; т2 = т3 - 0.

Уточним выбор системы отсчета. После проведенных рассуждений остались неизвестными функции T0, T1, An, /і22 от координат X0 и г. Преобразованием этих двух координат всегда можно добиться, чтобы T1 = O; /122 = 7*2. Это означает выбор из множества радиально движущихся систем отсчета одной, а именно имеющей постоянную площадь поверхности с фиксированным значением параметра г. Такую систему отсчета следует назвать покоящейся относительно источника. Остаются неизвестными лишь две функции.

Выпишем геометрические характеристики пространственных сечений выбранной системы отсчета. Согласно изложенному имеем компоненты метрического тензора hik:

hn = K1 (jfl9 г); A22 = г2; A33 = г2 sin2 6;

А11 - 1/AU; А22 - 1 /г2; А33 - 1 /г2 sin2 6;

hik = 0 при і Ф k\ hlk = 0 при і Ф k.

(4.8)

Отличными от нуля являются следующие компоненты 3-мерной связности Llik'

L1U = -Yhn'1 //lii; L22 = — r/Au; L133 = — г sin2 6/Аи;

(4.9)

L33 - — sin 6 cos 0; Zji - Lh - 1 /г; L323 = ctg Є,

где huii = dhu/dr. Используя эти соотношения, по формуле (3.99)

находим отличные от нуля компоненты 3-мерного тензора Риччи и скалярную кривизну:

3^11=Ai1VrA11; (4.10)

3^22 ^ 3RJsWQ= 1 - IZft11 + (г/2Аи) Allel; (4.11)

11.1 —hu). (4.12)

79

3R = (2/г2Ап) (A11 — rh В выбранной системе отсчета неизвестную компоненту An можно получить из уравнения Эйнштейна (3.36) (в вакууме)

GlivXW = _ (1/2) з^ = о rhi і, і + h2u — hn = 0, (4.13)

где учтено, что согласно (4.8) ?)22=/)33 = 0, а компонента Dn не входит в это уравнение. Решение этого обыкновенного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными имеет вид:

An = O -ад-1, (4.14)

где Ci — постоянная интегрирования.

Из смешанного уравнения Эйнштейна (3.37) (при сх = 1), учитывая (4.9), находим, что Dn = O, т. е. Ац не зависит от л;0. Следовательно, Dik = O. Рассматриваемое многообразие обладает еще одним вектором Киллинга ?(о> = 6? ,а выбранная система отсчета является киллинговой.

Для нахождения компоненты т° учтем, что согласно (4.7) отлична от нуля лишь одна компонента ускорения F\. Значит, все величины в уравнениях Эйнштейна, содержащие Fiy можно выразить через F\i

F / F^ 1 ^ii і

я = —; F1F1 = -l-\ WWbI--Y-P-F1;

"11 nIl z nIl

V2F2 = -jf- F1; V3F3 = -Tl- F1Sin2 Є; ( (4.15)

nIl nIl

SjiF1 = —^bi- J—^ILlL p--^h.

v All 2 /? hnr

Подставляя (4.15), (4.10) и (4.12) в уравнения Эйнштейна (3.38), находим:

GvJiW = 0 F1 = (\ — hn)/.2r = — Сл!2г2 (1 - C1Ir). (4.16)

Из соответствия с выражением для ускорения свободного падения в центральном ньютоновом гравитационном поле

g = ~ kMIr2 ~ FJi1 (1) с2« — Су2г2 — С?/4г\ (4.17)

где k — ньютонова гравитационная постоянная; M — масса центрального источника; с — скорость света; A1 (1) = 1/1 — ^1Ir — компонента тетрады в калибровке Ламе, находим, что постоянную интегрирования Ci следует выбрать равной 2kM/c2. Таким образом, в рассматриваемой системе отсчета

n kM ЙГ/І1 Ш k2M2 1о. F, =--; c2F (1) «-----, (4.18)

1 с2г2(1 — 2ШЭ) w г2 С2г3 4 ;

т. е. к ньютоновой силе добавляется эйнштейновская «сила», обратно пропорциональная г3.

Уравнения Эйнштейна GlivA^A? = (IZsin2G)GllvASAa = 0 соглас-

8Э но тождествам Бианки являются следствием двух уже рассмотренных. Остальные уравнения Эйнштейна тождественно обращаются в нуль.

В рассматриваемой кинеметрический (хронометрической) калибровке вектор ускорения F1 = T0T^1=—I0Jx0f так какт°=1/т0.. Подставляя это выражение в (4.18), находим простое дифференциальное уравнение для x0:xo,i/xo=kM/c2r2(l—2kMjc2r). Решение этого уравнения имеет вид:

т0 = (1/С2) V 1 — 2Ш/А , (4.19)/

где С2 — постоянная интегрирования. Надлежащим выбором координаты X0 всегда можно добиться равенства Сг=1. В результате получим метрику Шварцшильда

ds2 = (l— ^L)dxl--—--r*(dG* + sin * W), (4.20)

\ c2r j 1—2kM/c2r

где было использовано, что hik = —gik; Sr0O==xO- Систему координат, в которой записана эта метрика, часто называют координатами кривизн.

В пространственном сечении покоящейся системы отсчета длина окружности с центром в источнике выражается через параметр г обычным образом (1 = 2пг)у а расстояние вдоль радиуса до окружности

г

R = [ dr > г. ' (4.21)

J I/ 1 — 2Ш/с2г

г' г

При больших значениях г пространственное сечение становится почти плоским.

Обратим внимание на то, что в координатах кривизн компонента 3-мерной метрики Ац и определитель VA имеют особенность при r = rg = 2kM[c2 (гравитационный радиус). При переходе через гравитационный радиус координата X0 приобретает прост-р a IiCTB енно - по до б ны й, а г — временно-подобный характер. На гравитационном радиусе обращается в бесконечность вектор ускорения, так как

F1F1 = k2M2/c*r* (1 — 2Ш/cV). (4.22)

Не вдаваясь в подробности, отметив, что с понятием гравитационного радиуса связана гипотеза существования черных дыр — объектов с геометрическим радиусом, меньшим гравитационного. (Для Солнца, например, rg= 1,47 км, для Земли ?g = 0,5 см)
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed