Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
которое означает, что тензор спина Sflv является пространственно-спроектированным: Sflv = Sliv.
Начнем с уравнений спина (2.40), которые можно представить в виде
(g? — AiHgS- DStwJDs = O или IlhlDSllv/Ds = 0, (3.61)
где A^ = —— UaUll)— метрический тензор поостранственно-
(0)
го сечения, ортогонального линии т, представляющей точки (см. рис. 5). Будем использовать произвольную систему отсчета. Смешанная проекция (3.61) означает, что
vp [^V-Spv + OrSfyv + - Sf* (Dl - АЩ -
_ Sxv Fx = — W (Axa - Dxa) + Fx] Sxp (6- vpvv) и, (3.62)
где V0 = — (1/и) hxux; и = таиа. Пространственно-спроектированные по всем индексам уравнения (3.61) записываются в виде
CJtSiiv + CaV- Sliv = - SXv (А\ - Dl) - S^ (А\ - Dl) +
+ [(Axa - Dxa) V- + Fx] (5' V - SlvV11). (3.63)
Уравнения движения спиновых частиц (2.39) можно выразить следующим образом:
(дт~т + -Px W (Axa - Dha) + Fx] = - (1/2) ^vKaiw; (3.64)
(дтРа + V^fPa) + m [(Aaa - DZ) va + Fa] +
+ Px (Aax - Dt) = (1/2) (Faliv - VfjZaaiiv): (3.65) где введены величины:
S*fi0 1
m = ^=- - р> (Axa - Dxa) + Fx]; J
=^L+-A37- ^ - D,a)+F,] [6« (і - - і (з-бб)
-VpVaI
3.5. МОНАДНЫЙ МЕТОД В ХРОНОМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
КООРДИНАТ
Монадный метод наиболее эффективен в специальных системах координат, выбранных так, что конгруэнция координатных линий х° (Xi = Const) совпадает с конгруэнцией временно-подоб-
20 ных мировых линий системы отсчета т*. Такие системы координат иногда называют физическими, сопутствующими системе отсчета или хронометрическими. Будем придерживаться последнего названия. В этих системах приборы системы отсчета имеют неизменные пространственные координаты (Xi==CQnst) (рис. 7), т. е. отлична от
Рис. 7. В общем случае имеются две конгруэнции временно-подобных линийг т и X0 (х* — const) (а); в хронометрических системах координат конгруэнции
т и х° совпадают (б)
нуля только нулевая компонента 4-скорости (ri=dxi/ds = 0). Учитывая условие нормировки т^: TmOv^juv = T°T°g00= 1,— находим контра-вариантные компоненты тм- («калибруем» монаду):
Tli = ^Wg,
00
(3.67)
Из алгебраических соотношений (3.3) легко выразить компоненты тм и Zimv через компоненты метрического тензора ^rlllv:
xVL = xvSixv = Sou/Vgoo ; hik = goigok/goo — gik>
•Op,
hik=
= 0; A&:
3OjLli 0:
JK
¦g
h°i = gof/goo". ht = — gb Ol.
h0i = ~g\ h^ =(1-S00g^fg00.
(3.68)
Условие совпадения конгруэнций % и Xi = Const позволяет выделить не одну, а целый класс хронометрических систем координат, связанных друг с другом специальными «хронометрическими» преобразованиями координат. Эти преобразования находятся из условия Ti = O во всех хронометрических системах координат:
Xі = тадх iIdxa = т°дх iIdx0 = 0 -> дх iIdx0 = О,
* Монадный метод в таких системах координат известен как метод хронометрических инвариантов. Его разработал A. JI. Зельманов [68] и несколько позже независимо от него Каттанео [69]. т. е. они имеют вид:
xf° = xf0 (x°t х\ X2t X3); (3.69)
Xt = Xi (Xі, X21 X3). (3.70)
Хронометрические преобразования дополняются до произвольных преобразованиями
Xі = Xi (X0j Xі, X2j X3), (3.71)
которые приводят к расщеплению единой конгруэнции на две: исходную конгруэнцию т, совпадающую с Xi = Const и остающуюся неизменной, и новую временно-подобную конгруэнцию X^ = Const. Если новую координатную конгруэнцию связать с конгруэнцией второй системы отсчета т', то можно сказать, что преобразованиями координат (3.71) описывается переход от одной системы отсчета к другой. Однако при этом не следует забывать, что сами по себе преобразования координат не означают перехода к новой системе отсчета, переход производится лишь после отождествления второй координатной конгруэнции с конгруэнцией новой системы отсчета. Но последнего можно и не делать.
Таким образом, наряду с хронометрическими системами координат, привязанными к какой-то исходной конгруэнции системы отсчета, можно говорить и о хронометрической системе отсчета, определяемой конгруэнцией линий времени (Xi = COnst) заданной системы координат. Тогда можно сказать, что преобразования (3.71) описывают переход между хронометрическими системами отсчета, а (3.69) и (3.70) оставляют все в рамках одной и той же хронометрической системы отсчета.
В хронометрических системах координат проектирования произвольного тензора By;;; на направление т вследствие калибровки (3.67) состоит в следующем:
п
. .T^a ... =
п+т
(3.72)-
Все контравариантные «пространственные» компоненты B1'"k произвольного тензора являются пространственно-спроектированными:
п
вТГл = B^ ¦ v (-1)?. . .Л* = Bt-¦ \ (3.73).
и
так как согласно (3.68) ho =0,? = —gВсе ковариантные компоненты пространственно-спроектированных тензоров имеют только «пространственные» компоненты и образуются опусканием
B = By::;^.. .tV • • . = Ду...ц... ^v .
т п т п+т
п+т
= ! feoo) 2 •
п+т
20 индексов у компонент (3.73) посредством 3-мерного метрического тензора hik:
B0ll v = (— l)"?a?.. .уЛоЛЦ. .hl = 0 вследствии ho = 0;
