Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Владимиров Ю.С. -> "Системы отсчета в теории гравитации" -> 27

Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.

Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации — М.: Энергоиздат, 1982. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): sistemotchetateorgrav1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 102 >> Следующая


п—т I

Bi...k = / (g00)M/2. (3.95)

Так же как в хронометрической калибровке, в кинеметрических системах координат пространственно-спроектированные тензоры определяются лишь компонентами с «пространственными» индексами (і, У, ... = 1, 2, 3). Компоненты ковариантных пространственно-спроектированных тензоров с индексом 0 линейно выражаются через компоненты с 3-мерными индексами и не представляют интереса.

Рассмотренные спроектированные величины в кинеметрических системах координат обладают свойствами кинеметрической инвариантности: они инвариантны при преобразованиях (3.89) и про-странственно-ковариантны относительно преобразований координат (3.90). Эти величины в дальнейшем будем называть кинемет-рически-инвариантными (к. и.) 3-тензорами. Кинеметрическую инвариантность величин (3.92) — (3.95) можно показать точно так же, как и хронометрическую инвариантность величин, введенных в § 3.5.

В кинеметрических системах координат, как и в хронометрических, У—g = т0у/г. Сохраняют силу также формулы (3.77) для 3-мерных тензоров Леви-Чивиты.

Монадные физико-геометрические тензоры и операторы в кинеметрических системах координат (кинеметрической калибровке) будем обозначать крестиком слева сверху:

3* 67 +Fi - то І> +Aih = 0; 1 (з 96)

+Dik = (1/2) (MitJdx^ + hakd^/dxl + hiadra/dxk); J

+3, sF=V^ +-4=- -

^r 0x0 Vg00 Jxs

¦ KJBI- . . .+NksBi::: + . . (3.97>

где Ns.' = — h'„ т% = т's — x'+F,;

H _

= —77— + іЖ; • + . . .-LllBi:::- . . .(3.98)

' ——- дх1 ^---.----------------

m n m

Формула (3.98) полностью идентична 3-мерной ковариантной производной от 3-мерного тензора. Эта закономерность распространяется и на все другие 3-мерные величины в кинеметрической калибровке; например, 3-мерный тензор Риччи

sRik = SL1ikIdx1 - QL1ilIdxk + L1ikLsls - LsaL1ks. (3.99)

Все формулы § 3.4 в кинеметрической калибровке имеют тот же вид, только в них следует положить Aliv = 0 и везде писать лишь 3-мерные индексы.

Рассматриваемый формализм можно понимать как способ выделения в 4-мерном римановом пространстве-времени 3-мерных пространственно-подобных гиперповерхностей. С позиций известной в дифференциальной геометрии теории вложения п—1-мер-ных гиперповерхностей в риманово пространство размерности rt [7] тензор скоростей деформаций Dik представляет собой второй основной тензор 3-мерной гиперповерхности в 4-мерном многообразии.

Формальные условия интегрируемости в теории вложения так называемых деривационных уравнений приводят к уравнениям Гаусса

3Rmr = i^iksr + (DitDrh - DirDhs) (3.100)

и к уравнениям Петерсона — Кодацци

iRiks^ = +Vft- Dis - +vr Dsh. (3.101)

Видно, что эти уравнения совпадают соответственно с (3.39) и (3.40) в кинеметрической калибровке. Уравнения Гаусса означают, что 3-мерный тензор Римана — Кристоффеля слагается из двух частей: первая часть обусловлена кривизной вмещающего 4-мер-ного пространства-времени, спроектированного на 3-мерную гиперповерхность, а вторая часть связана с искривленностью самой гиперповерхности в 4-мерном многообразии. Уравнения Петерсона — Кодацци выражают через 4-мерный тензор Римана — Кри-

68: стоффеля отклонение тензора от симметрии по всем

трем индексам.

Спроектированную на т левую часть уравнений Эйнштейна (3.36) в кинеметрической калибровке можно получить из уравнений Гаусса, а смешанные компоненты тензора Эйнштейна (3.37) — сверткой уравнений Петерсона — Кодацци.

3.7. ЧАСТНЫЕ ВИДЫ СИСТЕМ ОТСЧЕТА

Об одном частном виде — нормальных системах отсчета (Alv = = 0) — уже говорилось в § 3.6. Рассмотрим другие частные виды систем отсчета, характеризуемые либо обращением в нуль монадных физико-геометрических тензоров (в отдельности или в комбинациях), либо связью этих тензоров с физическими полями.

Киллинговы системы отсчета можно ввести в том случае, если в рассматриваемой области пространства-времени существует вре-..менно-подобный вектор Киллинга. 4-Скорость киллинговой системы отсчета направлена вдоль этого вектора: Q1 = фт^, где ф — скалярная функция координат, характеризующая длину вектора Киллинга. Подставив в уравнения Киллинга (1.55) монадное представление метрического тензора (3.3) и спроектировав соотношение последовательно посредством h^hy, — тahV9 татр, находим, что в киллинговых системах отсчета

Dliv = O; (3.102)

/ч = А5Ф,р/Ф; Ф,ртр = 0. (3.103)

Из (3.103) следует, что вектор ускорения имеет дивергентный вид Fv= — (OlOxv) (ІПф). Тензор Aixv в общем случае отличен от нуля и обладает свойством OtAiiv = 0. Имеется класс многообразий, допускающих существование конформного вектора Киллинга т. е. вектора, удовлетворяющего конформным уравнениям Киллинга:

8 ^v = V + ^v; ц = (!/2) g^t: X (3.104)

Если вектор Iу временно-подобен, то в таких многообразиях можно ввести понятие конформно-киллинговых систем отсчета

= фт^) В этих системах отсчета

Aw = HixvOt (In ф); Fv - — (О/Ох*) (In ф); OtAixv = 0. (3.105)

Геодезические системы отсчета задаются геодезической конгруэнцией временно-подобных мировых линий. В них Fix = 0. Заметим, что не во всяком пространстве-времени возможно задание геодезической системы отсчета в конечной 4-мерной области. Однако такую систему отсчета всегда можно определить в окрест-
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed