Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Остановимся на случае, когда Bix является вектором 4-скорости некоторой частицы, рассматриваемой из двух введенных систем отсчета, т. е. В? = dx%ldsB, где dx? — смещение частицы. Тогда
(1) (D / -,/ (1) (2) (2) j-шГ (2)
B11 = U11/ V I-U2 ; B11 = UviIV I-U2
(1) /"|/ оГ (2) /l/ (2)
B = I/ V I-U2 B = I/ V I-U2 ,
(3.120)
72: (S) I (S)
¦ dxVB hv / d%E
(S) v (s) (S)
где dxB = dx? xv; і/ — — a*^ / итя ¦— компоненты 3-скорости частицы в соответствующей системе OT-
(S) (S) (S) (S)
счета U2=^hllVV U . Используя формулу (3.177), получаем:
(2) d%в ¦
1 ¦
VT
(і) (vU) (1) -dxB,
(3.121)
f (1) (1)Ll
где [(vU) =— VilU^ Аналогично с помощью формул (3.118) и (3.121) находим соотношение между квадратами 3-скоростей:
(2) г -?/»={( 1
1
v*)/{l-[vv)}2\(
1
(і) -U2
(3.122)
Подставляя эти формулы в (3.120), а последние в (3.119), приходим к обобщению релятивистской теоремы сложения скоростей:
V1-^2
[l -(VU) J
I-U2
(3.123)
Внешне эта формула не похожа на соответствующее выражение в СТО [74]. Однако следует учесть, что формула в СТО имеет место (і)
для Uil 11?. Такую формулу удобнее получить из (3.122), полагая (vU)2=v2U2; в результате имеем:
(2) /'(1) \ / ( (1)\ U=[U — u j/l —IvUj.
(3.124)
Использовав (3.117) и (3.118), запишем общековариантные формулы связи физико-геометрических тензоров в двух системах отсчета:
(2)
Fa =
1
1—V* и a
/(1) (1) (О (О \
[Fa-XaVvFv + 2A4a?)
(Va,v— Vv,а) +
+ -
О)
а _г wa)
2(1 — V2)2
(2)
Aafi =
уг
(1)
Аф ¦
dxv /О)
2(1
_Edfr2) .
¦ u2) '
(3.125)
— 1)2
1—U2
1+
+
2(1
(і) (О (О 1 + FixVV (VpXa— XpVa)\
-V*)3!'-
¦ XpVaj
Г /(Od) [v2[xaFp
(1) (1)\ / (1) (1) \ - X^Faj + \Va Fp — VpFa) +
(?, V
2~|/l — V2
(1)(1) (r|V ,(iv)
і—u2
X
73: Lfta+ ч) — Щ Wcc + TJJ + --- [TaVfi — TpVa ) +
1 — V2
(1) /(1)(1) (1)(1),] + ^ (Agra-Ай Tpl . (3.126)
Рассмотрим переходы между хронометрическими и кинеметрическими системами отсчета в одной и различных системах координат.
Связь между хронометрической т и кинеме T-(2)
рической т системами отсчета, определенными в одной и той же системе координат [75І]. Скорость движения кинеметрической системы отсчета относительно хронометрической согласно (3.115) находим в виде
^=VStoY6; y0 = teoog00-i)/Vgo7; і-v* = goog°°. (3.127)
Используя (3.119), в качестве примера запишем закон преобразования компонент спроектированного вектора:
(2) (1) / _ __ (!). _ \
в = в / Vg00 g00 - (got/Vgoo) В VVgoog00; п 1
(2) (1) (!) (1) __(0.ІЩ
Bk==Bk + B1goig^goog00 - в g0k/Vg0o g00. J
Переход от одной хронометрической системы отсчета к другой хронометрической [55]. Пусть вторая (2)
система отсчета т движется относительно первой со скоростью Vk1 тогда переход между системами отсчета описывается преобразованием координат
dxfi ^ дх'1 VkYg^0 (3 129)
^0 Ch* I-WVS)^'
Обратное преобразование имеет вид:
dxk _ vkV^ дх"
дх'° 1 - (goi/Y^o) Vі дх'° '
Например, для пространственно-спроектированных компонент вектора В** закон преобразования (3.119) имеет вид:
(Dt , ____ (О
(2 УІ
в =
О), Bvk— (gps/Vgoo) BsVk
1 - (goj/Vgoo) Vf
—. (3.130)
dxk
Переход от одной кинеметрической системы отсчета к другой кинеметрической [75]. Этот переход описывается преобразованием координат
74: = VhVg00 dx'° (313I)
dxk \-{g0I/y^)vj W '
Обратное преобразование имеет вид:
дх° ____ViVg™__
dx'k 1 — (g!'°/Vg™) Vj dx'k '
Например, для пространственно-спроектированных компонент вектора имеем закон преобразования
(2)
%-v, 'в-(SqsIWs) % 1 ^L
Vj J дх'к
(3.132)
Переход от кинеметрической системы отсчета к новой хронометрической [75]. Такой переход описывается преобразованием
д*'1 = vk + guk/YF~° dxf? ^ jg
дх0 ygoo дяЬ
где скорость второй системы отсчета относительно первой (кинеметрической) согласно (3.115) vk =Vg™dxk/dx° — g°k/Yg00. Об-ратное преобразование имеет вид:
djfi __ Qfe + g0k Vg™ дх9
дх'° Vp5 дх'° '
Для спроектированных компонент вектора В** закон преобразования запишем следующим образом:
(2) /<1) (1) \ / #_ (2) /(1) (1) \ .
Bf = [ В + BkIfi) /Yl-V2] В'1 = ( Bk — Bvk) дх'1 IdXk. (3.134)
Переход от хронометрической системы отсчета к новой кинеметрической. Этот переход описывается преобразованием координат [75]:
дх'° = Vh +g JYF* дх'° (3 135)
Ь* Vfa %
где скорость второй системы отсчета относительно первой vі =
= dxll\Ygoodx° + (gok/Vgoo) dxk]. Обратное преобразование имеет вид:
= (щ + goi/VgJ дх{ dx'k Vg^o dxfk '
Для пространственно-спроектированных компонент вектора получаем закон преобразования
(2), /(1) (1) \ aJ
Bk = [Bi — BviJ —т і (3.136)
dx'k
75: 3.9. ПОНЯТИЕ О ТЕТРАДАХ. КАЛИБРОВКА ЛАМЕ
Как уже подчеркивалось, в монадном формализме произвольным тензорным величинам сопоставляют либо скаляры (полностью спроектированные на т тензоры), либо пространственно-спроектированные тензоры (того же ранга или меньшего из-за частичного проектирования на т). Может создаться впечатление, что все эти величины, а также х. и. или к. и. величины в соответствующих калибровках, непосредственно описывают наблюдаемые в ОТО. Это не так. Наблюдаемые в ОТО могут описываться только скалярными величинами! Таким образом, полностью спроектированные на т величины непосредственно описывают наблюдаемые. Например, из тензора энергии-импульса материи Tliv имеем наблюдаемую плотность энергии & = Tma7TmTv. Но как перейти к наблюдаемым от пространственно-спроектированных тензоров? Для этого необходимо расширить измерительные возможности используемых систем отсчета, позволив определять в локальном пространственном сечении длины вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений. Это означает добавление к вектору монады ти еще трех пространственно-спроектированных ортонормирован-ных векторов g?(i)f где i= 1, 2, 3. Наблюдаемые будут непосредственно описываться скалярами — тензорными величинами, свернутыми по всем индексам с векторами и Например,
