Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
89: d\)ldxl + F2 = 0.
Разлагая F2 в ряд по | (первый порядок), приходим к уравнению
где точки означают дифференцирование по т. Отсюда находим частоту колебаний:
ей
Y1 -rg/r0-r20Q*
и период
T1=*L «-*— (і _ JL^). (4.63)
Легко показать, что период равен периоду обращения пробного тела по круговой орбите радиуса г0 в собственной (вращающейся) система отсчета. Эти колебания пробного тела относительно центра спутника обусловлены малым углом наклона круговых орбит пробного тела и центра спутника.
Колебания в плоскости круговой орбиты. Пусть 6 = я/2 = const. Введем обозначения: г=г0 + ?, г0йф/йт=
=Го^фо/^т+т], где ? и т] одного порядка. Тогда уравнения (4.59) и (4.61) принимают вид:
? + 2^3 + ^ = 0; (4.59а)
4 + 2t43i =0. (4.61а)
Разложим F1 в ряд по ? (до величин первого порядка включительно), а коэффициент разложения при ?—в ряд по гё/г0 да величин второго порядка включительно. В результате получим:
F1 = -Zi Vo + ?2 + 3QVS). (4.64)
Решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений будем искать в виде I = B ехр(ісот); г\ = С ехр(ісот), где В и С—постоянные. В результате получаем систему однородных алгебраических уравнений относительно амплитуд В и С:
[ V2 Л 4 Л
2\ыА3\В—(O2C= 0.
Эти уравнения имеют нетривиальные решения, если определитель системы равен нулю. Из этого условия находим частоту колебаний в плоскости круговой орбиты:
90:
В + 2ІШСЛ!з = 0; и период:
2 я 2я / 3 \
T2^-7=r (l + --f ). (4.66)
«2 с у rg/2r30 Х 4 ГоУ
Легко показать, что это колебание обязано квазиэллиптическому характеру орбиты пробного тела с общерелятивистским смещением перигелия типа наблюдаемого у Меркурия.
Разность периодов обращения (колебаний)
ЗЯ Г0
AT = T2 -T1= —=- -f (4.67)
с У rgl2r30 rO
зависит от радиуса орбиты и гравитационного радиуса шварц-шильдовского источника. Этот эффект в принципе можно было бы наблюдать, сравнивая в спутнике без сноса на круговой орбите периоды малых колебаний двух пробных масс во взаимно перпендикулярных направлениях.
4.6. ОБЩЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ СВЯЗЬ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ
Рассмотрим общерелятивистское влияние орбитального движения планет на их вращательное движение, следуя работе [78]. Используем уравнения Матиссона—Папапетру в монадном виде '(3.61) — (3.63) с дополнительным условием Кориналдези — Папапетру. Пусть пространство-время описывается метрикой Шварцшильда. Вычисления будем проводить в неподвижной системе отсчета (хронометрической по отношению к координатам кривизн). Легко показать, что влияние вращательного (собственного) движения планет Солнечной системы на орбитальное столь ничтожно, что в рассматриваемом ниже приближении им можно пренебречь. Будем считать, что планеты движутся по геодезическим (см. § 4.2). Обратное влияние орбитального движения на вращательное более существенно, поэтому наша задача будет состоять в решении уравнений спина (3.63) и в сопоставлении решения с данными наблюдений.
Уравнения (3.63), записанные по компонентам, имеют вид:
dS12/dT + VfL1jk Sk2 + ViL2k Sxk = — F1S1V; (4.68)
dS13/d% + VfL1jkSk3 + ViL3kSlk = — F1S13V1; (4.69)
dS2S/dT + VfL2ik Sk3 + ViL3jk S2k = F1S1V1 (4.70)
91: где согласно результатам § 4.1, 4.2
F1 = — г gift і 2 (1 — rgU)\ V1 = drjdi = — (т0а/т) dti/dy; V2 = dQ/di; = 0; ^3 = (mjm) ou2\ и = 1 /r.
Здесь опять координаты выбраны так, что 0 = я/2, т. е. орбита планеты лежит в экваториальной плоскости. Используя формулы для Llk (4.9) и переходя от дифференцирования по т к дифференцированию по ф согласно (4.29), эти уравнения можно привести к виду:
d f 512 ' ' = 0; (4.68а)
\ U (1 — rgu) ' U2
— (-—-) --= 0; (4.69а)'
deр \ и (1 — rgu) J
__^r Л S12 ^ Q (4 70 V
Лр \ и2 J \ 2 rgllJ U(I-TgU) ~~ '
Уравнение (4.69а) легко решить точно:
S™ = C0u(X-rgu)y (4.71)
где C0—постоянная интегрирования. Из (4.68а) и (4.70а) следует уравнение для одной неизвестной
( 812 ) + Л - -1 г Л 812 = 0. (4.72) гіф2 V М(1— rgu) J \ 2 g^J u{\—rgu) v
Учтем, что в нулевом приближении согласно (4.37)
U=Xjr = (Xlp) (1 -— еСОБф),
где р — фокальный параметр; е — эксцентриситет орбиты. Пренебрегая величинами второго порядка по rg/2p = r), решим уравнение (4.72) методом последовательных приближений. В первом приближении ПО Т] решение находим в виде
S12 -. C1 I sin (rI — — TI^ Ф + — sin 2ф] +
M(I-TgM) 1L \ 2 + C2 со5(1-А11)ф_АТ],+ ^СОз2ф], (4.73)
2 7 2 2
где Ci и C2—постоянные интегрирования. Отсюда и из (4.68а) легко найти S12 и S23, однако запишем результат сразу для наблюдаемых величин, вводимых согласно формулам S (i) = = (X/2)eijkSsrhs(j)hr(k), где hs(j) — компоненты триады; є?:д — 3-мерные символы Леви-Чивиты. Тогда трем компонентам тензора Sih соответствуют компоненты дуального ему наблюдаемого вектора кинетического момента
SrsS(l) = ,W; S0 = S (2) = - S1Wl-TgU; | (4 щ
S,p = S (3) =--- S12T-/ V1 — г JI . J
92: После несложных вычислений находим:
Sr = Cr {cos [ 1 — (3/2) ц] ф — це cos ф + це cos 2ф}
