Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
относительно решений которого пока не существует каких-либо строгих
заключений; проблема изучения поведения решений (10) обсуждается в гл. 12
и 13 на чисто качественной основе, где преобразования (9) и (10)
рассматриваются просто как преобразования точки р в параметрическом
пространстве в точку р'.
Очерченную выше формальную схему Вильсон наполняет физическим
содержанием, предполагая, что набор эффективных параметров р = (и2, и4,
...) представляет канонический ансамбль при температуре Т. При этом, если
температура Т весьма близка к Тс, для больших s параметр р/(7') может
оказаться весьма близким к р*. Естественно, существенным здесь является
выбор параметров взаимодействия в затравочном гамильтониане (4) (этот
вопрос обсуждается в гл. 1 и 4). Линеаризуя Ps, т, е. Rs -> R%, можно
в непосредственной
7
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
окрестности Тс считать, что р' = р* + 6|д/, р = р* + бр, и поставить
задачу на собственные значения вида бр' = Rr-бр. Полагая, что найдены
собственные значения г/г- и собственные векторы имеем
бр' = S tisyieit г/i > г/2 >--
i
Дальнейший прогресс в данной проблеме связан с конкретным нахождением у"
и е*. Достаточно полно исследованные случаи s-разложений (гл. 12) и
сферическая модель с n ^ 1 (Ма, 1973) позволяют заключить, что в
окрестности Тс ситуация довольно простая: у\ > 0, у* < 0, i ^ 2; точки р
на "критической поверхности" = 0) при s -> оо приближаются к точке р*, а
точки, выбранные не на критической поверхности, удаляются от точки р* по
направлению ei. Выбирая температуру Т весьма близкой к Тс [р = р* +
бр(Г)] и считая, что
^ = А(Т-ТС) + В(Т-ТС?+ ...,
имеем
/??ар (Т) - А(Т- Гс)+ О (&), 1 = УГ (11)
Используя (8) при s -> °о, получаем G (k, р (Г)) = a2"'" [G (sk, р* + Л
(Г - Г,) + О (**)И; (12)
выбирая s - A.{2k (А - фиксировано), при Т - Тс имеем
G(k, 11(ге))=й-2+,,(4)2~ч[о(4. "')+°ШУ!]~к~2+1''
(13)
т. е. получаем уравнение для определения тр При этом точность приближения
(13) оценивается последним отброшенным членом: размер области в ^-
пространстве, когда справедлива степенная асимптотика Фишера - Барфорда,
в основном определяется величиной у2 (г/2 < 0). Если считать Т - Тс > 0,
k = 0 и взять s = trv, ti ** А(Т - Тс), то формула (12) даст
G (0, р (Т)) *= ^r(2_4)v[G (Q, р* + ei) + О {Г^)1"
ж(Т-ТсТ\ у = v (2 - т]). (14)
Уравнение (14), подтверждая одно из соотношений "скей-линга", позволяет,
зная из (13) три из (11) v, найти у. Закон-
а
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
ность аппроксимации (14) определяется величиной отношения - yily\-
\y2\ly1, т. е. по-прежнему величиной второго собственного значения у2.
Поскольку - Tc\~v, то (11)
дает
Rsdy. = (у)' V е\ + О (зУг),
следовательно, мы можем интерпретировать действие Rs как сокращение
корреляционной длины в s раз; при этом (13) - (15) позволяют сделать
заключение, что гипотеза "скейлинга" справедлива, если для R, при s -* 00
вблизи р* доминирующим является вклад члена с у\. Естественно, мыслимы
модельные системы с у\ !> 0, у2 > 0; в работе [3] было предложено
использовать это для описания так называемых три-критических явлений,
могущих иметь место в Не3 - Не4. Не исключено наличие нескольких
фиксированных точек; существенным может оказаться симметрия гамильтониана
взаимодействия (например, относительно непрерывной группы вращений или
отражений в статистической механике). Качественное обсуждение этого
содержится в гл. 12.
Метод Вильсона, бесспорно, позволил глубже исследовать проблематику
фазовых переходов; в распоряжении исследователей появился общий
регулярный и стандартный метод расчета критических индексов.
Статистическая физика обогатилась весьма нетривиальной методикой
исследования макроскопических систем. Самому Вильсону принадлежат попытки
распространить этот подход и на проблематику квантовой теории поля. Здесь
оказалось возможным, если исходить из решеточных моделей статистической
механики с анизотропным взаимодействием, позволяющих свести проблему
вычисления статистической суммы к проблеме вычисления матрицы переноса,
переформулировать их на языке некоторой полевой модели с обрезанием,
гамильтониан которой и определяется через матрицу переноса и которая
имеет положительную метрику. При этом спин-спиновая корреляционная
функция в статистической теории (если говорить для определенности о
спиновых моделях) эквивалентна пропагатору квантовой теории поля при
дискретных значениях чисто мнимых временных переменных.
Сформулированная в первых главах диаграммная техника оказывается
фейнмановской диаграммной техникой, позволяющей находить соответствующие
полевые "вершины*
9
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
в пространственно-подобной области (нефизическая размерность задач
статистической механики d = 4 - е, е -> 0 соответствует нефизической
размерности пространственных компонент импульсов полевых операторов d - 3
- е, е-*•()). Этим вопросам посвящены гл. 9 и 10. Особенно удачно, на наш
взгляд, изложен материал гл. 10. Предложенная здесь Вильсоном
