Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
Метод РГ позволяет исследовать ряд наиболее трудных проблем физики. Эти
проблемы включают в себя отдельные вопросы релятивистской квантовой
теории поля, теорию критических явлений, эффект Кондо (см., например, [1-
7]) и другие задачи. Все они характеризуются тем, что здесь существенным
образом проявляет себя большое число степеней свободы.
Многие проблемы, с которыми приходится сталкиваться в физике, связаны с
учетом очень большого числа степеней свободы. Например, кристалл,
жидкость или газ в макроскопических количествах содержат более 1023
электронов, а каждая координата любого из электронов является степенью
свободы.
Большинство же теоретических методов "работает" лишь тогда, когда мы
имеем дело только с одной независимой переменной, т. е. в случае одной
степени свободы. Рассмотрим, например, уравнение Шредингера для волновой
функции ф(х, у, z) одного электрона. Если удается разделить переменные в
уравнении Шредингера [например, ф = ф] (г)ф2(0)фз(0) в сферических
координатах], то задача нахождения ф неизмеримо упрощается1)- Очевидно,
что найти волновую функцию 1023 электронов без каких-либо существенных
упрощений, оправданных тем или иным образом, просто безнадежно.
При обычных обстоятельствах число степеней свободы порядка 1023 может
быть значительно сокращено. Интенсивный или экстенсивный характер
наблюдаемых (энергия, например, экстенсивная величина, а плотность -
интенсивная величина) позволяет воссоздать свойства макроскопической
системы, если только они заданы для микроскопического образца. Так,
жидкость, содержащая, скажем, только 1000 атомов, вероятно, имеет
приблизительно такую же энергию на единицу объема и плотность, как та же
жидкость (при той же температуре и давлении), но содержащая 1023 атомов.
Как долго можно уменьшать объем и количество, например, газа без
качественного изменения его свойств? Минимальный размер области, в
которой свойства вещества в достаточной степени передают свойства
макроскопического об-.
') Действительно, в этом случае мы приходим к достаточно полно
разработанной проблеме отыскания решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений. - Прим. ред.
14
ВВЕДЕНИЕ
разда, называется корреляционной длиной. Размер этой области |
определяется состоянием системы. Для газа корреляционная длина | зависит
от давления и температуры. При обычных обстоятельствах она имеет порядок
всего лишь 1 - 2 средних межатомных расстояний. Когда корреляционная
длина | так мала, существует ряд методов определения свойств системы:
вириальные разложения, теория возмущений, метод Хартри - Фока и т. д. Эти
методы включают в себя различные приближения, однако все они имеют одну
общую особенность: в них предполагается, что во всем, объеме свойства
материи определяются малыми группами атомов (кластерами). Кроме того, эти
методы включают еще некоторые дополнительные предположения, так как даже
группа только из трех атомов содержит слишком много степеней свободы,
чтобы проблему можно было решить без значительных упрощений.
В особых случаях корреляционная длина гораздо больше межатомного
расстояния. Первым примером такого рода является фазовый переход с
некоторой выделенной критической точкой. Переходы жидкость - газ,
ферромагнитные переходы, переходы порядок - беспорядок в сплавах и т. д.
- все они имеют критические точки при определенных значениях
термодинамических переменных. (Критическая точка перехода жидкость - газ
определяется критическими величинами температуры Те и давления Рс.) Если
говорить точно, то в критической точке корреляционная длина | бесконечна,
а в окрестности критической точки велика.
Существует, таким образом, некоторый класс проблем, включающий
критические явления и характеризующийся тем, что в области с размерами
порядка корреляционной длины имеется очень большое число степеней
свободы. "Очень большое" означает не просто 3 или 4, а тысячи или
миллионы, если небесконечное число. Кроме критических явлений, другими
проблемами такого же рода являются проблема Кондо (магнитные примеси в
металле), образование связей в больших молекулах и, наконец, все задачи
релятивистской квантовой теории поля. В случае, скажем, скалярного поля
ф(х) само поле ф{х) в каждой точке х можно рассматривать как отдельную
степень свободы; следовательно, любая область конечных размеров будет
содержать бесконечное число степеней свободы. Обычно корреляционной
длиной для квантового поля является комптоновская длина волны,
соответствующая
15
ГЛАВА I
частице с наименьшей массой. В случае квантовой электродинамики на
практике в качестве корреляционной длины выступает комптоновская длина
волны электрона (10-11 см), а не фотона. Это позволяет экстраполировать
основные закономерности квантовой электродинамики, установленные для
"ящика" размерами 10-11 см, на все пространство. Если же брать "ящики"
размером 10~и см, то это приведет к грубым искажениям взаимодействия
электронов и фотонов.
