Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
Все проблемы, перечисленные выше, характеризуются своей неподатливостью.
Едва ли лучше, чем это было в 1932 г., понята сейчас проблема образования
связей в молекулах х). Очень неравномерно в последние 70 лет развивалась
теория критических явлений. Хотя успехи в вычислительных аспектах
квантовой электродинамики и весьма впечатляющи, мы очень мало
продвинулись здесь в ее понимании, а в теории сильных взаимодействий нет
успеха ни в том, ни в другом, и лишь проблема - Кондо, изучение которой
началось в последнее время, возможно, наиболее близка к разрешению [2, 3,
7].
Изучение перенормировок как в квантовой теории поля, так и в теории
критических явлений, рассматриваемых в рамках статистической механики,
наводит на мысль, что поведение систем с большим числом степеней свободы
в области, размеры которой порядка корреляционной длины, качественно
отличается от поведения систем только с несколькими степенями свободы в
этой области. Системы, которые мы рассматриваем, обычно определяются с
помощью гамильтониана, и-, казалось бы, следовало ожидать, что поведение
системы характеризуется главным образом видом взаимодействий,
присутствующих в гамильтониане, и величинами соответствующих постоянных
связи. Это действительно так при малых Оказывается, однако, что в
задачах, обсуждаемых в настоящих главах, когда степени свободы ведут себя
взаимосвязано, поведение системы определяется в первую очередь именно
фактом кооперативного поведения и природой самих степеней свободы.
Гамильтониан взаимодействия играет при этом лишь второстепенную роль.
Таким образом, в теории критических явлений возникло понятие
универсальности, т. е. предположе-
*) Проблема образования связей в молекулах требует учета корреляционных
эффектов, а для этого должны быть развиты более тонкие ме: тоды расчета,
нежели полуэмпирические методы квантовой химии. - Прим. ред.
16
ВВЕДЕНИЕ
ние, что все гамильтонианы взаимодействия приводят к одинаковому
критическому поведению. Идея универсальности возникла впервые в связи с
"законом соответственных состояний", который сводится к гипотезе о том,
что все жидкости и газы с точностью до перенормировки шкал длины и
энергии имеют одинаковые уравнения состояния. В качестве одной из
относительно "недавних" работ по этому вопросу см. статью Гугенгейма [8].
В более общем виде идея универсальности была сформулирована несколько лет
назад по отношению к критическому поведению различных систем с
произвольными взаимодействиями. См., например, работу Л. П. Када-нова
[9]. Гипотеза универсальности будет рассмотрена в дальнейшем и в
частности в гл. 12.
Подход, основанный на ренормализационной группе, ставит перед собой две
цели. Первая из них - практическое упрощение работы по нахождению решения
для систем с большим числом степеней свободы в области размерами порядка
корреляционной длины. Основная идея здесь такая же, как в гидродинамике.
В гидродинамике вводят новые переменные [например, плотность р(х)],
которые представляют собой средние по исходным микроскопическим степеням
свободы. В гидродинамических уравнениях все микроскопические флуктуации
исключены, т. е. предполагается, что в-функции р(х) проявляются только
макроскопические флуктуации. В действительности это означает, что
гидродинамическими степенями свободы являются величины р(х) в
макроскопически отдаленных друг от друга точках. Таким образом,
гидродинамических степеней свободы в единице объема гораздо меньше, чем
первоначальных микроскопических.
Метод ренормализационной группы сходен с гидродинамическим подходом в
том, что здесь исходные микроскопические степени свободы заменяются на
меньший набор эффективных степеней свободы. Делается это последовательно,
причем на каждом этапе линейная плотность степеней свободы уменьшается в
2 раза.
Уменьшение "плотности степеней свободы" можно осуществить несколькими
способами. Предположим, что исходная система состоит из спинов,
сосредоточенных в узлах решетки, расстояние между которыми L0. Новыми
эффективными степенями свободы могли бы быть спиновые блоки, расстояние
между центрами которых 2L0. С другой стороны, новые степени свободы могли
бы быть определены с помощью- плот?
17
ГЛАВА 1
ности намагниченности М{х), зависящей от непрерывной координаты х [точно
так же, как в гидродинамике дискретные атомы заменяются плотностью р(х)].
Тогда для уменьшения числа степеней свободы налагают следующее
ограничение: величина М(х) содержит только такие флуктуации, длина волны
которых больше 2L0. Эти идеи будут сформулированы более точно в
последующих главах. (Отметим, что множитель 2 выбран достаточно случайно.
В частности, часто бывает полезно изменить плотность числа степеней
свободы только на бесконечно малую величину, а не в 2 раза. См. следующие
главы.)
Такое сокращение числа степеней свободы проводится затем повторно. Начав
со степеней свободы, разделенных промежутками Lq, после первого шага
получаем степени свободы с промежутками 2L0, после второго - с 4L0 и т.
