Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
рые ведут себя подобно тензорам (или тензорным плотностям) при общих преобразованиях координат. Далее, заменяли все производные Ofdxa ковариантными производными, а вместо т)а|5 везде подставляли g^v. Полученные уравнения движения оказывались общековариантными (см. гл. 5).
Этот метод в действительности применим только к объектам, которые ведут себя, подобно тензорам при преобразованиях Лоренца, и не применим к спинорным полям, введенным в § 12 гл. 2. [Математически это происходит из-за того, что тензорные представления группы GL (4) в виде произвольных линейных 4x4 матриц ведут себя, подобно тензорам на подгруппе лорен-цевых преобразований, но не существует представлений GL (4) и даже «представлений с точностью до знака», которые ведут себя, подобно спинорам на подгруппе Лоренца.] Каким образом тогда ввести спиноры в общей теории относительности?
Этот вопрос разрешается в другом подходе к задаче о воздействии гравитации на физические системы; этот подход доволь-
*) Этот параграф лежит несколько в стороне от основной линии книги и может быть опущен при первом чтении. § 5. Тетрадный формализм
391
но интересен сам по себе, даже если не иметь в виду задачу о спинорах.
Начнем с того, что, пользуясь принципом эквивалентности, зададим в каждой точке X набор локально-инерциальных координат 1-х. (Невозможно, конечно, построить ни одной системы координат, которая была бы локально-инерциальной повсюду, если пространственно-временной континуум не является «плоским».) Как показано в § 2 и 3 гл. 3, метрика в произвольной неинерциальной системе координат выглядит так:
^v (*) = V\(x)V\ (X)Tiep, (12.5.1)
где
nwH^U <12-5-2>
Заметим, что мы фиксируем локально-инерциальные координаты в каждой физической точке X раз и навсегда, а потому, когда мы заменяем неинерциальные координаты х'* координатами х*, частные производные Fap, заменяются по правилу
F^-^F'V-^n. (12.5.3)
Поэтому можно считать, что Vav, — не один тензор, а четыре ковариантных векторных поля; такой набор четырех векторов называют тетрадой *).
При наличии какого-либо контравариантного векторного поля А*(х) можно использовать тетраду, чтобы задать его ж-компо-ненты в системе координат ^x, локально-инерциальной в этой точке х\
* Аа -VallAil. (12.5.4)
При этом свертывание контравариантного вектора А* с четырьмя ковариантными векторами Vav, приводит к замене единственного 4-вектора А* четырьмя скалярами *Аа. Мы можем сделать то же самое с ковариантным векторным полем, а также с произвольными тензорными полями:
* A = V
a a VU (12-5.5)
= Ve11VfiliV и т. д. V '
Здесь Fpv — тетрада (12.5.2), но с a-индексом, пониженным с помощью тензора Минковского Iiaf3, и р-индексом, поднятым с помощью метрического тензора а именно
__V = WlvVa11. (12.5.6)
1O Или репером, или, более старое, 4-под.— Прим. ред. 392
Гл. 12. Принцип наименьшего действия
Заметим, что, согласно (12.5.1), это — обратная тетрада, т. е.
Snv = Fp1Vfiv, (12.5.7)
и, следовательно, справедливо также
S«? = FtWi. (12.5.8)
Скалярные компоненты метрического тензора тогда выглядят просто как
*gu? = ValiVjjgrllv = T]a?. (12.5.9)
Теперь, когда мы показали, как превратить любое тензорное поле в набор скаляров, можно забыть первоначальные тензоры У», Tliv и т. д., из которых мы исходили, и посмотреть, как следует строить действие, если мы с самого начала работаем со скалярами *Fa, *Talj и т. д. В таком подходе спинорное поле, подобное полю электрона Дирака, может быть введено в наш формализм точно таким же способом, как и любое другое поле, а его особые свойства при лоренцевых преобразованиях не приводят ни к каким осложнениям. У нас есть два принципа инвариантности, которые следует учитывать при построении подходящего действия для вещества I м.
А. Действие должно быть общековариантным, а все поля следует рассматривать как скаляры, исключая саму тетраду.
Б. Принцип эквивалентности требует, чтобы в локально-инерциальных системах была применима специальная теория относительности и, в частности, чтобы не возникало никаких различий от того, что мы выбираем в каждой точке разные локально-инерциальные системы. Таким образом, поскольку наборы рассматриваемых скалярных полей *Fa; *Та$ и т. д. определяются в произвольно выбранной локально-инерциальной системе координат, уравнения поля и действие должны быть инвариантными относительно переопределений этих локально-инерциальных систем координат в каждой точке или, другими словами, относительно лоренцевых преобразований Aa15 (х), которые могут зависеть от пространственных и временной координат:
*Аа(х) -+Аац(х)* At (х), <Ta? (х) AJ (х) Ap6 (х)* Ty6 (х),
где
TiapAav(X)Ap6(X) = Tiv6. (12.5.10)
Тетрада (12.5.2) преобразуется по тому же правилу, что и *Аа:
Fa11 (х) ->- Aap (х) V^ (х), (12.5.11) § 5. Тетрадный формализм
393
а произвольное поле *фп (х) преобразуется по правилу
*Ф» (*) S ID (Л (х))]пп *фт (X), (12.5.12)
т
где D (A) — матричное представление группы Лоренца (или по крайней мере группы инфинитезимальных лоренцевых преобразований) типа того, что обсуждалось в § 12 гл. 2.
