Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
a dlx и д/дх* мы теперь не касаемся. Если первоначальное преобразование X* -у- х'* было инфинитезимальным:
х'* = H- е^ (х),
то изменение динамических переменных будет следующим:
8хп* (р) = є^ (хп (р)),
%„ И—«а М^-л. W ^* и.
(12.3.1)
Изменения А и g суть просто производные Ли (§ 9 гл. 10). Важно здесь то, что инфинитезимальному преобразованию теперь подвергаются только динамические переменные, а не координаты, по которым производится интегрирование. Таким образом, принцип наименьшего действия утверждает, что в том случае, когда динамические уравнения для хп*, AtlU т.д. удовлетворяются, изменения этих величин не приводят ни к каким изменениям действия для вещества Iм. Единственное изменение в Im происходит здесь за счет вариации внешнего поля gvv, и (12.2.2) описывает это изменение следующим образом:
25* 388
Гл. 12. Принцип наименьшего действия
Если Im является скаляром, то Ым должно равняться нулю; интегрирование по частям приводит к результатам:
а так как г% (х) произвольно, получаем
0 =
~(VgT\)-I(^)Vg T^,
dxv 4 \ дхА
или, учитывая (4.7.6), имеем
0 = (r\);v. (12.3.2)
Итак, тензор энергии-импульса, введенный с помощью выражения (12.2.2), сохраняется (в ковариантном смысле) тогда и только тогда, когда действие для вещества является скаляром. Если же Im — скаляр, из (12.2.2) немедленно вытекает, что T^ — симметричный тензор, и, следовательно, наше определение тензора энергии-импульса обладает всеми свойствами, которые нам хотелось бы иметь.
Доказательство того, что общая ковариантность предполагает сохранение энергии-импульса, в точности аналогично доказательству того, что калибровочная инвариантность предполагает сохранение заряда. Изменение действия I'm, определяемое (12.2.3) для произвольного калибровочного преобразования, может возникать только благодаря изменению A11, поскольку I'm стационарно относительно всех других динамических переменных. Общее инфинитезимальное калибровочное преобразование є будет приводить к следующему изменению A11 (§ 11 гл. 4 и § 2 гл. 10):
ел Sb
Подставляя это в (12.2.6), видим, что 1'м калибровочно-инвариант-но тогда и только тогда, когда
O = SZk= j cPxVgJ»-^.. Интегрируя по частям, получаем
0= J ^"SiT (/ІО.
или, поскольку е произвольно, имеем
О-УГЯ-УЇ'-Г*
Снова видим, сколь близки калибровочная инвариантность и общая ковариантность. § 4. Гравитационное действие
389
§ 4. Гравитационное действие
До сих пор гравитационное поле guV в этой главе считалось внешним полем, которое можно было вводить по нашему желанию. [Соответственно (12.2.2) обычно является наиболее удобным определением тензора энергии-импульса именно в отсутствие гравитации.] Дадим теперь для guv настоящие уравнения поля, добавив для этого к полному действию I чисто гравитационный член Iq-
I = Im+ Ig, (12.4.1)
J Vs?)R (*) (12-4-2)
Видно, что Ig — скаляр, а потому этот член является удачным кандидатом для теории гравитации, даже если мы не имели бы никакого опыта обращения с гравитационными явлениями. Теперь покажем, что применение к I принципа наименьшего действия на самом деле приводит к теории Эйнштейна.
Скалярная кривизна R определяется как а потому
вариация Sg1uv метрики приводит к следующему изменению подынтегрального выражения (12.4.2):
б 0/ gi?) = VgRilv^' + Дб Vg + Уі^бД^.
Согласно выражению (10.9.2), изменение тензора Риччи равно e^v=(erjji);v- (or?,v);a.,
причем ковариантные производные здесь определяются так, как если бы 6Г\|д, был тензором (что выполняется в действительности). Таким образом, последний член в б (VgR) равняется
VhrbRv=Vg Kg^rJab- (g-бг^Ы,
или, подставляя (4.7.7), получаем
Vgg^R^ = (V'i>vsr^) --JLr (Vgg^bTlv).
Этот член, следовательно, выпадает, когда мы интегрируем по всему пространству. Учитывая также то, что
б Vg = у Vggliv^v, og^v = _ g^g^bgpa,
получаем изменение действия (12.4.2) в виде
67G = IBSG І бg^x. (12.4.3)
Объединяя (12.4.3) и (12.2.2), видим, что полное действие I стационарно относительно произвольных вариаций guv тогда и только 390
Гл. 12. Принцип наименьшего действия
тогда, когда
Ifv - -i g^R + 8я GTW = 0.
Последнее, конечно, является уравнением поля Эйнштейна.
Формулу (12.4.3) можно также использовать для получения свернутого тождества Бианки. Так как величина Iq является скаляром, она должна быть устойчива относительно вариаций
(12.3.1) по guv. Повторяя аргументы, приведшие нас к условию
(12.3.2), приходим теперь к соотношению
Svfcfl]^ о,
в котором мы узнаем свернутое тождество Бианки (6.8.3.)
Этот формализм указывает на то, что теорию Эйнштейна можно было бы модифицировать, прибавляя в выражении (12.4.2) к R члены, пропорциональные R2, R3 и т. д. В § 1 гл. 7 отмечалось, что такие члены сказывались бы только в явлениях с достаточно малыми пространственно-временными масштабами.
§ 5. Тетрадный формализм *)
До сих пор мы придерживались только одного метода при определении воздействия гравитации на произвольные физические системы. Брали уравнения специальной теории относительности, которым подчиняются системы в отсутствие гравитации, и заменяли все лоренцевы тензоры объектами T1V."', кото-
