Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
OO
+ 2 е" J All(Xn) +
, (IxnIx дА\1 (хп) „ , , dxJ1 с . . . 1
+ ^+т^-чм}.
Поскольку бж^1 (т„) и (х) исчезают на границе области интегрирования, то, проинтегрировав по частям, приходим к результату:
OO ^
=2 j ding^ (хп) I — тп [-??- +
П -OO
+ Г&, (хп) + еп Jg. F\ (Xn) } S^ +
+ J { ^iT ^2 {х) F^'(X)) +
OO
+ 2 J d^i (X-Xn) } (X).
п -OO
Очевидно, что бIm равно нулю при произвольных вариациях Ьхпх и S^v тогда и только тогда, когда хп1 и Av подчиняются динамическим уравнениям (12.1.1) и (12.1.3). Итак, приходим к выводу, что формула (12.1.6) действительно является подходящей лагран-жевой функцией этой системы.
§ 2. Общее определение Trj
Мы собираемся определить тензор энергии-импульса материальной системы, описываемой действием Zv как «функциональной производной» Im по ^uv. Для этого предположим, что guv (X) подвергается бесконечно малой вариации
&1V + Sgliv, (12.2.1)
где Sgruv произвольно, за исключением того, что оно равняется пулю при I Xх I —>- оо. Действие Im не будет устойчиво относительно этой вариации, поскольку в данном случае мы рассматриваем guv (х) не как динамическую переменную, подобную хп* или A^, но как внешнее поле. Тогда 81 м будет некоторым линейным функционалом бесконечно малой вариации Sgruv (х) и, следовательно, будет иметь вид
Mm = Y J d'x 7^ ^ 6SW (12.2.2)
Коэффициент T^v (х) по определению считается тензором энергии-импульса этой системы. § 2. Общее определение T^
385
Общее доказательство того, что T^v — сохраняющийся симметричный тензор, будет дано в следующем параграфе. Однако сначала убедимся, что (12.2.2) действительно дает корректное определение тензора энергии-импульса для бесстолкновительной плазмы, описываемой действием (12.1.6). Будем варьировать ^liv, оставляя фиксированным A11; получаем
8F»* = /'раб (g^gva) = FpagWSgvo + Fpag^bgw. Чтобы вычислить Sgvtl, заметим, что
б (g->,,gv-a) = gVMbgXy. + g}Mbg™ = о,
а потому
Sgva= — gvXgKabgkK,
и, следовательно,
S/W = _ p^gv4g}M + F^g»4gXK.
В § 7 гл. 4 мы уже видели, что
bg = ggb*bg%K.
Непосредственное вычисление приводит в результате к выражению
OO
«/» = 4-2 тп J dp[{-g^ (хп(р)] dx\{;] dXn2P)YhX
П —00
+ 4 j d'xgVz (x) { V (x) F^ (x) -
(X)Fliv(X) F^' (X) } bglK (X).
Сравнивая последнее выражение с (12.2.2), находим Ты (х) в виде
OO ^
Tb* (Х) = g-4z (X) YiTtin j dxn dxd«n dIfn V(X-Xn) +
П —OO
+ F111 (X) F^ (x)-L g^ (х) Fllv (х) F^ (X),
что согласуется с тензором энергии-импульса, полученным ранее с помощью выражений (5.3.5) и (5.3.7).
Определение (12.2.2) очень схоже с соответствующим определением электрического тока J*. Мы можем разбить полное действие для вещества на чисто электромагнитный член Ie и член Гм, 25-0788 386
Гл. 12. Принцип наименьшего действия
который описывает заряженные частицы и их электромагнитные взаимодействия:
Im = IE+I'M, (12.2.3)
Ie = - і J (х) Fliv (х) Fliv (х). (12.2.4)
Рассмотрим изменения 1'м при бесконечно малой вариации вектора-потенциала
Av ^ Av. +SAv.. (12.2.5)
Так как 1'м не является полным действием, изменение Im в результате этой вариации A11 не равно нулю, но с необходимостью является линейным функционалом от 64 д:
бIm = J dkx УТЩ/" (х) S^11 (х). (12.2.6)
Сомножитель Jv- (х) считается, по определению, электромагнитным током системы. Например, в случае бесстолкновительной плазмы, описываемой выражением (12.1.6), член I'm является суммой первого и третьего членов в выражении (12.1.6), и мы немедленно находим, что
OO
б/м=2е 1 j dxn*SAll(xn).
П -OO
Сравнивая это с формулой (12.2.6), получаем
J» (Х) = g-Чг (Х) 2 j б4 (х - хп) dxn»
п
в соответствии с выражением (5.2.13). В следующем параграфе мы докажем, что (12.2.6) всегда приводит к сохраняющемуся току.
§ 3. Общая ковариантность и сохранение энергии-импульса
Если действие Im материальной системы — скаляр, тогда равенство нулю бIm является общековариантным и этим же свойством будут обладать уравнения, найденные с помощью этого действия. Рассматривая, например, действие (12.1.6) для бесстолкновительной плазмы, убеждаемся в том, что Im — скаляр, и это обеспечивает общую ковариантность динамических уравнений (12.1.1) — (12.1.3), которые можно найти с помощью (12.1.6), если применить принцип наименьшего действия.
Итак, будем предполагать далее, что Im есть скаляр. Это означает, что Im не будет изменяться, если мы одновременно § 3. Общая ковариантность и сохранение энергии-импульса 387
сделаем замены
CfiX-JL--Jirf Хп*(Р)^х?(Р),
Aik(x) Arll (х') ^ Av (х) ^v
дх*
Я
^v (х) ^v (х ) = gpa (х)
дх* дхv
Однако X'» — это просто переменная интегрирования (в противоположность хп*, которая является динамической переменной), а потому мы можем перейти от х'* снова к х* без изменения Iм. Тогда делаем вывод, что Im не изменяется при заменах
Xji* (P) x'rt (р), Ail (х) Atll (х) = Av (х) -^L - [Al (х') -A'v(x)],
QxP Qx°
?nv (х) -*¦ §liv (х) = gpa (х) --Tjr -^T7 — IiEfllv (х') — g'?v (х)},
