Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
(R\ —і- 6\R ) Vail = - BnGJZav
Свертывая это с Fccv и подставляя сюда (12.5,1) и (12.5.27), получаем известные уравнения поля Эйнштейна
= -8я GTvl. (12.5.36)
Эти уравнения позволяют найти только ^liv, оставляя тетраду определенной лишь с точностью до лоренцева преобразования (12.5.11). Однако инвариантность действия для вещества относительно таких, зависящих от положения преобразований Лоренца гарантирует, что все тетрады, связанные с данной метрикой, приводят к одним и тем же физическим эффектам.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Utiyama R., Phys. Rev., 101, 1597 (1956) (см. перевод в сб. «Элементарные частицы и компенсирующие поля», ИЛ, I960, стр. 250).
2. Kibble Т. W. В., J. Math. Phys., 2, 212 (1961). Симметрия как в широком, так и в узком понимании этого слова есть идея, с помощью которой человек во все времена пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.
Г. Вейлъ, Симметрия
Глава 13
СИММЕТРИЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Евклид неявно допускал, что метрические соотношения не изменяются при трансляциях и вращениях. Реальные гравитационные поля, вообще говоря, не обладают столь высокой степенью симметрии, однако иногда они обладают приближенной симметрией относительно некоторых групп преобразований. В этих случаях мы можем, используя информацию об этом, облегчить себе решение уравнений Эйнштейна или даже обойтись совсем без решений. Здесь дано короткое введение в хорошо разработанную математическую теорию симметричных пространств, причем особое внимание уделено максимально симметричным пространствам, представляющим особый интерес для космологии.
С самого начала мы встретимся со следующей проблемой: как можно использовать предполагаемую симметрию для получения каких-то сведений о метрике, если без знания метрики мы не можем найти даже систему координат, в которой определяется свойство симметрии. Для того чтобы обойти это затруднение, мы должны искать ковариантный способ описания симметрии, не зависящий от конкретного выбора какой-нибудь системы координат. Если такой способ будет найден, то установление свойств метрики, определяемых ее симметрией, сведется к математическим операциям.
§ 1. Векторы Киллинга
Говорят, что метрика guv (х) форминвариантна относительно данных преобразований координат х —>- х', если преобразованная метрика ^Jiv (х') — это та же самая функция от ее аргумента что и первоначальная функция gMV (х) ее первоначального аргумента Xт. е.
g'v-viy) = g»v (у) для всех у. (13.1.1)
[Это условие отличается от задающего скаляры, которое имеет вид S' (х') = S (ж).] В любой данной точке новая метрика вво- § 1. Векторы Киллинга
401
дится с помощью соотношения
, . дхр дх° . .
или, эквивалентным способом,
/ \ дх ^ Qcc / і і, ^vW=-^- —gpc (ж).
Когда выполняется условие (13.1.1), gp0 (х') можно заменить на gpa (х1) и получить таким образом фундаментальное условие форминвариантности метрики:
(13.1.2)
Любое преобразование х х', удовлетворяющее (13.1.2), называется изометрией.
Вообще говоря, условие (13.1.2) — весьма сложное ограничение на функцию х'* (х). Его можно очень сильно упростить, рассматривая специальный случай инфинитезимального преобразования координат
?'11 = 311 + 6111(3), где|е|«1. (13.1.3)
В первом порядке по є соотношение (13.1.2) теперь выглядит так:
0 = {х) + gpv (х) + (х) ^Sr1' (13л-4)
Его можно переписать через производные ковариантных компонент ^ = ?^:
dIa . dIp і guf dSpa dgp.q _ OgniI _ dga . _g|p 0? Г|і __ n
дхРП~ L дх* дх» дх° J дх» + дх° z^lpa-V,
или, в более компактном виде,
k; р+ SKa = 0. (13.1.5)
Говорят, что 4-векторное поле (х), которое удовлетворяет соотношению (13.1.5), образует вектор Киллинга [1] метрики (х). В этом случае задача нахождения всех инфинитезимальных изо-метрий данной метрики сводится к задаче нахождения всех векторов Киллинга для данной метрики. Любая линейная комбинация векторов Киллинга с постоянными коэффициентами также является вектором Киллинга, так что существует пространство векторных полей, натянутых на векторы Киллинга, которое определяет инфинитезимальные изометрии метрики.
Условие Киллинга (13.1.5) намного сильнее, чем выглядит на первый взгляд, поскольку оно позволяет полностью задать
26-0788 402
Гл. 13. Симметричные простр але тв CL
функцию |м (х) с помощью величин Ect и |а; р, заданных в некоторой точке X. Чтобы убедиться в этом, необходимо лишь обратиться к формуле (6.5.1) для коммутатора двух ковариантных производных:
1а; р; ц— Ia; ц,; р = —^арцІХі (13.1.6)
а также к правилу суммирования циклических перестановок (6.6.5) тензора кривизны
Rop? ~h R?op ~Ь Rp?O = 0. (13.1.7)
Прибавляя к (13.1.6) две ее циклические перестановки, приходим к выводу, что любой вектор Hm должен удовлетворять соотношению
Ia; р; ц —1 Ia; ц; р + 1ц; a; р — 1ц,; р; a + Ip; ц; а — Ip; а; ц, = 0. (13.1.8)
Для вектора Киллинга, (13.1.5) и (13.1.8) приводят к соотношению
Ia; р; ц Ia; ц; р ' 1ц; р; a — 0-
Тогда (13.1.6) принимает вид
!д,р;а=-Яарц!л. (13-1.9)
